Matematyka.pl

Witam
Rozwiązując zadania natrafiłem się na taką zasadę "Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) jest równa \(\displaystyle{ w(a)}\)".

Następnie jest zadanie :
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian p.
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x , p(x) = x^{2} -1}\)
No oczywiście sposobem rozwiązania jest po prostu podzielenie \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ p(x)}\)
ale czy istnieje jakiś szybszy sposób wykorzystujący zasadę powyżej ? np. \(\displaystyle{ p(x)}\) zapisać jako \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i co dalej ?

To tak niestety nie działa - tej zasady nie da się zastosować przy dzieleniu przez wielomiany wyższych stopni. Także trzeba dzielić, sztuczek fajnych tu nie ma.

EDIT:
Jest pewien szczególny przypadek - gdy \(\displaystyle{ W(a_1)=W(a_2)=W(a_3) = \ldots}\) to reszta z dzielenia będzie równa tyle co każda z tych reszt. Czyli gdyby w podanym przez Ciebie przykładzie było \(\displaystyle{ W(1)=W(-1)=17}\) to reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) byłaby równa właśnie \(\displaystyle{ 17}\)
Ale to tylko szczególny przypadek, za często się to nie zdarza.

Ja podpowiem sposób który nie wymaga dzielenia.

Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian drugiego stopnia jest postaci \(\displaystyle{ ax+b}\) (oczywiście moje "a" nie związku z tym "a" które napisałeś w twierdzeniu Bezouta).
Zapisz sobie w następujący sposób :
\(\displaystyle{ W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest pewnym nieznanym wielomianem, czyli wynikiem dzielenia, a \(\displaystyle{ R(x) = ax+b}\) jest szukaną resztą z dzielenia. Zatem
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(x+1) \cdot Q(x) + ax+b}\)
Teraz wystarczy podstawić liczby z poszczególnych dwumianów, tj. \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) i dostaniesz dwa równania, z których obliczysz współczynniki \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

No no skorzystam dziękuje za tak szybką odpowiedź