Matematyka.pl

Wiemy, że
1) \(\displaystyle{ [q'(x)=0] \implies q=\mbox{const.}}\)
2) \(\displaystyle{ [\exists_{n} \forall_{x} q^{(n)}=0 ] \implies q(x) - \mbox{wielomian}}\)

3) \(\displaystyle{ [\forall_{x}\exists_{n}q^{(n)}=0] \implies q(x) - ?}\)

Jak wygląda \(\displaystyle{ q(x)}\) w tym 3cim przypadku?

Nie wiem, ale można rozpocząć burzę mózgów.

Załóżmy zatem, że funkcja \(\displaystyle{ q}\) określona i różniczkowalna nieskończenie wiele razy jest na przedziale \(\displaystyle{ \mathcal{I}\subset\RR}\). Niech \(\displaystyle{ x\in\mathcal{I}.}\) Dobieramy do niego najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) o opisanej własności. A zatem wszystkie pochodne rzędów niższych są niezerowe. Mamy kilka możliwości: miejsce zerowe funkcji, ekstremum lokalne, punkt przegięcia itp. Więc jak by mogła wyglądać funkcja bardzo regularna z ekstremum bądź punktem przegięcia w każdym punkcie?

Być może nie ma takiej funkcji.

a funkcja stała f(x)=0?

Tak To trywialny przypadek. Zresztą każda funkcja stała. Można wziąć wielomiany itp. bo w sumie punkty 1 i 2 to WKW, zachodzą implikacje odwrotne. Można też funkcje sklejane, tzw. spliny naturalne. A więc są takie funkcje. Np. weźmy \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Pospieszyłem się twierdząc, że takich funkcji nie ma.

Dalej interesujące pozostaje pytanie o realizacje "niewielomianowe".

3 to bardzo znane acz niezbyt proste zadanie. Jeśli założymy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) (żeby wszystko miało sens), to tylko wielomiany spełniają rozważany warunek. Wskazówka: tw. Baire'a.

Ale jak to się ma do "mojej funkcji" \(\displaystyle{ f(x)=(x_+)^2}\)? Na ujemnej półosi zero, więc warunek zachodzi. Na dodatniej półosi \(\displaystyle{ x^2}\), więc nawet wszystkie pochodne począwszy od trzeciej są zerowe. W zerze pochodna zerowa. Więc \(\displaystyle{ \forall\;x\in\RR\;\;\exists\;n\in\NN\;\;f^{(n)}(x)=0.}\)

Z jednej strony nie jest konieczne tutaj \(\displaystyle{ C^{\infty}\), a z drugiej warunek zachodzi.

A... chyba wiem. W \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) wielomiany, a ja mam funkcję tylko klasy \(\displaystyle{ C^1}\). Więc duża regularność wymusza wielomianowość, pozbywając się (jak widać można) regularności, dochodzą inne funkcje.

jak ma mi to pomóc, bo nie bardzo rozumiem.

Ja się zastanawiam, nie miałem czasu głębiej. Trzeba dobrze znać tw. Baire'a - jedno z najmocniejszych i najważniejszych twierdzeń analizy. Jakoś czuję, że podobnie jak w dowodzie tw. Banacha mówiącego, że zbiór funkcji ciągłych różniczkowalnych choć w jednym punkcie jest brzegowy w \(\displaystyle{ C[0,1]}\). Dowód tego twierdzenia powinien być na Wikipedii. Bardzo znana osobistość na Forum (nie ja ) często pisze do Wikipedii.

Tak jak pisałem, to jest trudne zadanie, nie wystarczy trywialne przyłożenie twierdzenia. Trzeba tutaj porządnego rozumowania, które jest jednak dosyć naturalne gdy się o tym bardzo długo pomyśli. Aczkolwiek bez pewnej biegłości w topologii i analizie nie polecam mierzyć się z tym zadaniem. Rozważałem napisanie szkicu rozwiązania, ale uznałem, że nie chce mi się, tak samo jak autorowi tematu nie chciało się napisać bezbłędnie treści zadania.

Ale są inni chętni słuchacze.

zobacz tu: problem 5.