Matematyka.pl

Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(t)= \sum_{n=1}^{ \infty } e^{-tn} \cdot t^{n+1}= \sum_{n=1}^{ \infty }f _{n}}\) jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\).

Łatwo sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ t=2}\) szereg jest zbieżny.

Następnie

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } f_{n}^{'}= \sum_{n=1}^{ \infty }e^{-tn}t^{n}(-tn+n+1)}\) i teraz nie bardzo wiem jakim szeregiem ograniczyć podany. Albo jak udowodnić, że szereg podany na początku nie jest różniczkowalny (jeśli nie jest).

Najłatwiej będzie tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-tn} \cdot t^{n+1} = e^{-t} \cdot t^2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} e^{-(n-1)t} \cdot t^{n-1} = e^{-t} \cdot t^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left( te^{-t} \right)^n = { \frac{e^{-t} \cdot t^2}{1-te^{-t}} = \frac{t^2}{e^t - t}. }}\)

Ta ostatnia to funkcja różniczkowalna, więc ta pierwsza też. Po drodze korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ |te^{-t}| < 1}\) dla \(\displaystyle{ t \in (1, 3).}\)

Dziękuję, właśnie o taką odpowiedź mi chodziło.