pochodne cząstkowe i różniczkowalność
: 20 mar 2013, o 21:13
dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: R^{2} \rightarrow R}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y)=}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}xy \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } , (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{array}}\)
a) Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0,0)
więc obliczyłam z definicji i po x wyszlo mi zero i po y rowniez zero.
b) zbadac różniczkowalność funkcji w punkcie (0,0)
chciałam się upewnić.. funkcja jest rozniczkowalna jezeli jest klasy C1, a jest klasy C1 jesli jest ciagla na jakims zbiorze, tak?
badam pochodne czastkowe:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x,y)= y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } +xy \cdot \cos \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } \cdot \frac{-2x}{( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
licze granicę pochodnej cząstkowej po x
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } +xy \cdot \cos \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } \cdot \frac{-2x}{( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
rozbijam sobie:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } =0}\)
wiem, że rowna się to zero, bo sinus jest ograniczony. jak jest cos ograniczonego i pomnozymy to przez 0 da nam zero. jak udowodnic to za pomocą twierdzenia o 3 funkcjach? moglby mi ktos to rozpisac?
dalej licze granice
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{-2 x^{2}y }{( ( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
cosinusa nie bralam juz pod uwage, bo dazy do 1.
stwierdzilam, ze moja powyzsza granica nie istnieje. wzielam dwa pary podciagow:
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{n} , \frac{1}{n})}\) (oczywiscie po n dazacym do nieskonczonosci) jezeli nie machnelam sie w rachunkach granica wyszla mi minus nieskonczonosc.
druga para podciagow:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{n}, 0)}\) (oczywiscie po n dazacym do nieskonczonosci) jezeli nie machnelam sie w rachunkach granica wyszla mi 0
zatem granica nie istnieje. zatem funkcja nie jest rozniczkowalna?-- 20 mar 2013, o 23:52 --nikt nie jest w stanie mi pomoc?
\(\displaystyle{ f(x,y)=}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}xy \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } , (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{array}}\)
a) Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0,0)
więc obliczyłam z definicji i po x wyszlo mi zero i po y rowniez zero.
b) zbadac różniczkowalność funkcji w punkcie (0,0)
chciałam się upewnić.. funkcja jest rozniczkowalna jezeli jest klasy C1, a jest klasy C1 jesli jest ciagla na jakims zbiorze, tak?
badam pochodne czastkowe:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x,y)= y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } +xy \cdot \cos \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } \cdot \frac{-2x}{( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
licze granicę pochodnej cząstkowej po x
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } +xy \cdot \cos \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } \cdot \frac{-2x}{( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
rozbijam sobie:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } y \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } =0}\)
wiem, że rowna się to zero, bo sinus jest ograniczony. jak jest cos ograniczonego i pomnozymy to przez 0 da nam zero. jak udowodnic to za pomocą twierdzenia o 3 funkcjach? moglby mi ktos to rozpisac?
dalej licze granice
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{-2 x^{2}y }{( ( x^{2} + y^{2} ) ^{2} }}\)
cosinusa nie bralam juz pod uwage, bo dazy do 1.
stwierdzilam, ze moja powyzsza granica nie istnieje. wzielam dwa pary podciagow:
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{n} , \frac{1}{n})}\) (oczywiscie po n dazacym do nieskonczonosci) jezeli nie machnelam sie w rachunkach granica wyszla mi minus nieskonczonosc.
druga para podciagow:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{n}, 0)}\) (oczywiscie po n dazacym do nieskonczonosci) jezeli nie machnelam sie w rachunkach granica wyszla mi 0
zatem granica nie istnieje. zatem funkcja nie jest rozniczkowalna?-- 20 mar 2013, o 23:52 --nikt nie jest w stanie mi pomoc?