Strona 1 z 1
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 20:34
autor: qaz
Oblicz granicę ciągu \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{5n+2}{5n+4}\right) ^{5n-5}}\)
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 20:35
autor: Ser Cubus
\(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{5n+2}{5n+4} \right) ^{5n-5} = \left( \frac{5n+4-2}{5n+4} \right) ^{5n-5} =
\left( 1 + \frac{-2}{5n+4} \right) ^{5n-5}}\)
co Ci to przypomina?
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 20:54
autor: qaz
Nie wiem jak teraz przekształcić, żeby mianownik i wyrażenie w potędze było takie samo, bo o to chyba chodzi...
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 21:00
autor: yorgin
Pomnożyć i podzielić wykładnik przez mianownik ułamka.
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 21:06
autor: qaz
Wiem, że granica w nieskończonosci \(\displaystyle{ \big(1+\frac{1}{n}\big)^n=e}\). Tutaj oprócz tego, że ta potęga jest tak bardzo rozbudowana to jeszcze jest w liczniku ułamka w podstawie \(\displaystyle{ -2}\). Szczerze mówiąc mocno skomplikowany jest ten przykład. Nie wiem jak to dalej rozwiązać....
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 21:39
autor: yorgin
Jest mocniejszy fakt:
Jeśli \(\displaystyle{ a_n\to+\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{a_n}\right)^{a_n}=e^k}\)
z którego należy tu skorzystać.
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 22:14
autor: Ser Cubus
\(\displaystyle{ \big(1 + \frac{-2}{5n+4}\big)^{5n-5} = \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{5n-5}=
\big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(5n-5) \cdot \frac{\frac{5n+4}{-2}}{\frac{5n+4}{-2}} } =
\big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \cdot \frac{5n-5}{\frac{5n+4}{-2}} } =
\left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{5n-5}{\frac{5n+4}{-2}} }} =
\left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{-10n+10}{5n+4 }}\\
\lim_{ n \to \infty } \left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{-10n+10}{5n+4 }} = \lim_{ n \to \infty } e^\frac{-10n+10}{5n+4 }}}\)
z tym już sobie poradzisz
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 22:24
autor: qaz
to mi wyjdzie tak:
\(\displaystyle{ \bigg(\big(1+\frac{-2}{5n+4}\big)^{5n+4}\bigg)^{\frac{5n-5}{5n+4}}\)
czyli chyba powinno być \(\displaystyle{ (e^{-2})^{\frac{5n-5}{5n+4}}}\)
czyli ostatecznie to: \(\displaystyle{ e^{-2}}\), bo ten ułamek w wykładniku dąży do \(\displaystyle{ 1}\), tak?
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 22:25
autor: Ser Cubus
tak, zauważ, że u mnie wychodzi na to samo
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{-10n+10}{5n+4 } = -2}\)
chciałem poprostu pokazać, skąd to się wzięło
granica ciągu z liczbą e
: 20 mar 2013, o 22:27
autor: qaz
dziękuje za pomoc