Matematyka.pl

Oblicz ekstrema loklane i globalne dla funkcji :

\(\displaystyle{ y= e^{ -x^{2} }}\)

jak to rozwiązać?

Stosując rachunek różniczkowy. Ale i bez niego widać gołym okiem, że ta funkcja maleje na półosi dodatniej, a rośnie na półosi ujemnej. A więc ma w punkcie zero jedyne maksimum lokalne równe jeden. Jest to tez maksimum absolutne czyli globalne. To co napisałem o monotoniczności wnoszę z tego, że funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ g(t)=e^t}\) jest rosnąca w całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\), \(\displaystyle{ -x^2}\) maleje w przedziale \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), a rośnie w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\). Wykres tez można łatwo zobaczyć - krzywa Gaussa.

szw1710, niestandardowo i ładnie, bo bez rachunku różniczkowego

Natomiast rachunkiem różniczkowym wychodzi natychmiast po policzeniu pochodnej z tej banalnej funkcji. Tylko jedno miejsce może być ekstremum.

pochodna z tej funkcji to:

\(\displaystyle{ e^{ -x^{2} } \cdot (-2x)}\)

Tak - wynika z chain rule.

i pozniej co trzeba zrobic z ta pochodna. rozumiem , ze przyrownac do zera?

Tak. Do zera.

czyli :

\(\displaystyle{ e^{ -x^{2} } = 0}\) lub \(\displaystyle{ -2x=0}\)

funkcja wykladnicza nigdy nie osiaga zera zatem x= 0

zatem zero to maksimum? skad wiadomo, ze maksimum a nie minimum?

Można to odczytać łatwo z wykresu pochodnej, gdzie jasno widać, że tu i tu funkcja jest malejąca, tu i tu rosnąca.

a o co chodzi z tym ekstremum globalnym?

O to, że jest to taki punkt, w którym funkcja osiąga wartość największą w całej swojej dziedzinie.