Matematyka.pl

Witam

Mam kilka pytań co do definicji zależności i niezależności zmiennych losowych. Na wikipedii możemy wyczytać, jak na obrazku:

Stąd pojawiają mi się pytania:
1. Czy ogólnie ta definicja niezależności zmiennych losowych jest dla wielowymiarowych rozkładów?
W rubryce "Zależność statystyczna", mamy wzór: \(\displaystyle{ F_X(a)F_Y(b) \ne F_{XY}(a,b)}\), czyli wskazywałoby to na to, że tak, że mamy tu najpierw dystrybuanty jednowymiarowe, te tzw "brzegowe" a następnie mamy dystrybuantę dwuwymiarową (jeśli dobrze odczytuję)?

Piszę o tym, bo wydaję mi się, że równanie \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)=P(X \le a)P(Y \le b)}\) można rozumieć dwojako. De facto, wyrażenie \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)}\) można traktować jako funkcję rozkładu dwuwymiarowego prawdopodobieństwa, gdzie nierówności zmiennych losowych opisują tu JEDNO zdarzenie, że wektor losowy przyjmie postaci w danym określonym obszarze, lub można to traktować jako prawdopodobieństwo po prostu dwóch zdarzeń, gdzie nie ma sensu rozpatrywać wymiarowości. Czy tak jest? (nawet jeśli to trywialne pytanie, byłbym wdzięczny za odpowiedź, chcę się dokładnie upewnić).

2. Czy dobrze rozumiem, że jeśli zmienne losowe są niezależnie, to nie trzeba znać ani budować np takiego rozkładu wielowymiarowego, wystarczy znać prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(X \le a)}\) i \(\displaystyle{ P(Y \le b)}\), bo ich iloczyn da nam \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)}\) to tutaj właśnie albo prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń, albo funkcja rozkładu dwuwymiarowego prawdopodobieństwa, gdzie nierówności zmiennych losowych opisują jedno zdarzenie, że wektor losowy przyjmie określoną postać?
(Wiem, że gmatwam, ale się tutaj jakby gubię w tych oznaczeniach, w interpretacjach)

3. Stąd, bezpośrednio do punktu 2. mam pytanie, czy gdyby zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) dla pewnego przedziału, czy pojedynczej wartości, były zależne, to wtedy aby poznać wartość \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)}\) musielibyśmy znać rozkład dwuwymiarowy prawdopodobieństwa, dla wektora losowego ze zmiennymi losowymi \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)?

4. Czy notacja: \(\displaystyle{ P(X \le a \wedge Y \le b)}\) znaczy to samo co \(\displaystyle{ P(X \le a, Y \le b)}\) w przypadku rozkładów wielowymiarowych?

M.in na wiki: , w rubryce "Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych" jest taki fragment, pokazujący, że chyba chodzić tu może o rozkłady wielowymiarowe: [url]http://tinypic.com/view.php?pic=1opv2e&s=6[/url]

Będę bardzo wdzięczny za pomoc, oraz za dopisanie jeszcze jakichś dodatkowych informacji, gdybym coś przeoczył.

1. Tak, definicja jest ogólna. P(zdarzenie) zawsze dotyczy jednego zdarzenia niezależnie od tego w jak złożony sposób byłoby ono opisane. Tyle że przy tego typu kwestiach w myślach "przełączamy się" pomiędzy różnymi przestrzeniami zdarzeń elementarnych, stąd czasami intuicja i symbole mogą zdawać się kłócić.
2. Zgadza się.
3. Nie słyszałem o takim pojęciu jak zależność zmiennych losowych dla przedziałów lub pojedynczych wartości. Nie bardzo potrafię sobie nawet wyobrazić co to mogłoby oznaczać...
4. W praktyce to to samo, tyle że drugi zapis podkreśla fakt, że to rozkład dwu zmiennych losowych.

Chyba już wiem gdzie tkwił mój błąd. Źle rozumiałem zmienne losowe X i Y. Jako, że mamy jedną przestrzeń probabilistyczną i jeden zbiór zdarzeń elementarnych, to wychodzi na to, że rozkład brzegowy zmiennej losowej np X to po prostu rozkład zmiennej losowej X. Ja cały czas do tego podchodziłem, jakbyśmy mieli dwa zbiory zdarzeń elementarnych dla każdej ze zmiennych losowych. Wydaję mi się, że teraz już jest ok. Przepraszam za kłopot i dzięki za pomoc.