Matematyka.pl

Witam, mam problem
jest dana norma Bieleckiego
\(\displaystyle{ ||z||_{*}=\max\left\{ |z(t)| \exp \left[ -2 \left| \int\limits_{t_{0}}^{t}c(\tau)d\tau \right| \right] \right\}}\)

Potrzeba jakoś pokazać, że \(\displaystyle{ c_{1}||z|| \leq ||z||_{*} \leq c_{2}||z||}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ ||z||}\) jest normą supremum.

I własnie jest problem jak ta norma supremum wygląda i jakie wtedy powinny być te stałe \(\displaystyle{ c_{1},c_2}\)??
wie ktoś może jak to zrobić??

Brakuje mi trochę danych w tym zadaniu bo nie wiadomo czym jest funkcja \(\displaystyle{ c}\) oraz na jakiej dziedzinie są określone te wszystkie funkcje. Dla funkcji ciągłej \(\displaystyle{ \omega}\) o wartościach dodatnich \(\displaystyle{ \omega}\)-metrykę Bieleckiego definiuje się na \(\displaystyle{ \mathcal{C}(\left[ a,b\right],\RR) \times \mathcal{C}(\left[ a,b\right],\RR)}\) (czasem też na \(\displaystyle{ \mathcal{C}(\left[ a,b\right],L_p(\Omega)) \times \mathcal{C}(\left[ a,b\right],L_p(\Omega))}\)) wzorem

\(\displaystyle{ d_{\omega}(x,y)=\sup_{t\in[a,b]}\omega(t)|x(t)-y(t)|}\)

i widać, że

\(\displaystyle{ \inf_{\xi\in[a,b]}\omega(\xi) \sup_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)| \le d_{\omega}(x,y)\le \sup_{\xi\in[a,b]}\omega(\xi) \sup_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)|. }\)

Co czynie \(\displaystyle{ \omega}\)-metrykę Bieleckiego lipschitzowsko (zatem też topologicznie) równoważną ze standardową metryką supremum. I tu w tym zadaniu pewnie jest podobnie. Przy założeniu, że \(\displaystyle{ c:[0,T]\to \RR}\) jest na tyle porządną funkcją (wystarczy ciągłość) by odwzorowanie

\(\displaystyle{ t\mapsto \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) }\)

było ciągłe mamy, że dla dowolnej \(\displaystyle{ z\in \mathcal{C}(\left[ 0,T\right],\RR)}\)

\(\displaystyle{ \inf_{t\in[0,T]} \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) \|z\| \le \|z\|_{*} \le \sup_{t\in[0,T]} \exp \left( -2\left| \int_{0}^{t} c(\tau) \, \dd \tau \right| \right) \|z\|. }\)

Co daje szukane stałe i sprawia, że norma \(\displaystyle{ \|\|_{*}:\mathcal{C}(\left[ 0,T\right],\RR)\to \RR}\) jest równoważna normie supremum. W przypadku z przesunięciem o \(\displaystyle{ t_0}\) niewiele się zmienia. Tak to widzę przy standardowych założeniach choć nie upieram się, że nie dało by się zrezygnować ze zwartości dziedziny lub ciągłości na koszt innych raczej niestandardowych założeń.

Matematyka.pl

Norma Bieleckiego

Norma Bieleckiego

Re: Norma Bieleckiego