Matematyka.pl

Zalożenia: \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N_+}}\)

Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n}\) dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Sprawdziłem, że w przedziale \(\displaystyle{ n\in\left[ 1,2000\right]}\) spełniają równanie dwie liczby naturalne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 24}\).

Myślę, że pomoże taki zapis: \(\displaystyle{ \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)}\)

O to chodzi?

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} n \left( n+1\right) \left( 2n+1\right) =\sum_{i=1}^{n} i^2}\)

Teraz coś z tą sumą pokombinować?

Podpowiedź \(\displaystyle{ (n,n+1)=(n,2n+1)=1}\)

\(\displaystyle{ m(6m+1)(12m+1)=k^2, \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=6m}\)
\(\displaystyle{ (3m+1)(4m+1)(6m+1)=k^2, \ \ \ n=6m+1}\)
\(\displaystyle{ (2m+1)(3m+1)(12m+5)=k^2, \ \ \ n=6m+2}\)
\(\displaystyle{ (2m+1)(3m+2)(12m+7)=k^2, \ \ \ n=6m+3}\)
\(\displaystyle{ (3m+2)(4m+3)(6m+5)=k^2, \ \ \ \ n=6m+4}\)
\(\displaystyle{ (m+1)(6m+5)(12m+11)=k^2, \ \ \ n=6m+5}\)

Czyli w każdym przypadku te trzy liczby z iloczynu po lewej muszą być kwadratami liczb naturalnych, ale nadal nie wiem jak znaleźć wszystkie liczby \(\displaystyle{ n}\) o żądanej własności.

Podpowiedź #2:
Z podpowiedzi 1 wynika, że \(\displaystyle{ (n=a^{2})\vee (n=2a^{2})\vee (n=3a^{2})\vee (n=6a^{2})}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną liczbą całkowitą.

No ok

Czyli tak:

1. \(\displaystyle{ n=a^2}\)

\(\displaystyle{ a^2(a^2+1)(2a^2+1)=6k^2}\)

2. \(\displaystyle{ n=2a^2}\)

\(\displaystyle{ 2a^2(2a^2+1)(2 \cdot 2a^2+1)=6k^2 \Rightarrow a^2(2a^2+1)(4a^2+1)=3k^2}\)

3. \(\displaystyle{ n=3a^2}\)

\(\displaystyle{ 3a^2(3a^2+1)(2 \cdot 3a^2+1)=6k^2 \Rightarrow a^2(3a^2+1)(6a^2+1)=2k^2}\)

4. \(\displaystyle{ n=6a^2}\)

\(\displaystyle{ 6a^2(6a^2+1)(2 \cdot 6a^2+1)=6k^2 \Rightarrow a^2(6a^2+1)(12a^2+1)=k^2}\)

Jak wygodnie będzie rozwiązać te równania?

Hint #504:

Pokaż że zawsze jest \(\displaystyle{ a|k}\).