Liniowa niezależność funkcji wymiernych
: 17 mar 2013, o 22:32
Sprawdzić, czy funkcje: \(\displaystyle{ \frac{1}{x}, \frac{1}{x-1}, \frac{1}{x-2}... \frac{1}{x-n}}\) są liniowo niezależne w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(x)}\) wszystkich funkcji wymiernych nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
Aby sprawdzić, liniową niezależność biorę dowolne \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_{n+1} \in \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}=0}\) i chcę pokazać, że \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_{n+1}=0}\).
Zastanawia mnie, czy jeśli funkcja \(\displaystyle{ a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}}\) ma być tożsamościowa równa \(\displaystyle{ 0}\) to czy to oznacza, że nie może być "luk" w dziedzinie?
Chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb{Q}}a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}=0}\) , zatem biorę \(\displaystyle{ x=0}\) , więc \(\displaystyle{ a_1}\) musi wynosić \(\displaystyle{ 0}\) , bo w przeciwnym wypadku funkcja nie byłaby określona w \(\displaystyle{ 0}\) .
I tak już po kolei: biorę \(\displaystyle{ x=1}\) , biorę \(\displaystyle{ x=2}\) i tak dalej. Czy można w ten sposób wywnioskować liniową niezależność?
Aby sprawdzić, liniową niezależność biorę dowolne \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_{n+1} \in \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}=0}\) i chcę pokazać, że \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_{n+1}=0}\).
Zastanawia mnie, czy jeśli funkcja \(\displaystyle{ a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}}\) ma być tożsamościowa równa \(\displaystyle{ 0}\) to czy to oznacza, że nie może być "luk" w dziedzinie?
Chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb{Q}}a_1\cdot \frac{1}{x}+a_2\cdot \frac{1}{x-1}+...+a_{n+1}\cdot \frac{1}{x-n}=0}\) , zatem biorę \(\displaystyle{ x=0}\) , więc \(\displaystyle{ a_1}\) musi wynosić \(\displaystyle{ 0}\) , bo w przeciwnym wypadku funkcja nie byłaby określona w \(\displaystyle{ 0}\) .
I tak już po kolei: biorę \(\displaystyle{ x=1}\) , biorę \(\displaystyle{ x=2}\) i tak dalej. Czy można w ten sposób wywnioskować liniową niezależność?