Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\sqrt[x]{1+sinx}=?}\)



no jakim cudem mam coś takiego zrobić?

powiem ci tylko ze ma wyjść '\(\displaystyle{ e}\)' lub jak kto woli \(\displaystyle{ exp(1)}\) ale dlaczego to ci nie powiem sam wydaje mi się jedynie takie coś
jak wiemy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}\) to słynna liczba \(\displaystyle{ e}\)
no tu mamy sytuacje podobną:
\(\displaystyle{ \left(1+\sin x \right)^{ \frac{1}{x}}}\)

\(\displaystyle{ x}\) dąży do zera wiec \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) dąży do Inf i zarazem \(\displaystyle{ \sin (x)}\) dąży do zera takoż samo jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

i dla tego mniemam wynikiem jest to '\(\displaystyle{ e}\)' ale sadze, że ktoś to fachowiej wytłumaczy, bo była taka granica bodajże \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x} = 0}\) czy coś takiego, więcej nie powiem, bo nie wiem.

hmmm tyle , że ma wyjść \(\displaystyle{ e}\) to wiem..ale jak? skąd? dlaczego? z którego księżyca?

spróbuję inaczej lecz podobnie


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left(1+ \sin x \right)^{ \frac{1}{x} } \\ \frac{1}{x}=t \\ \\ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \sin \frac{1}{t} \right)^{t }}\)


wiadome jest, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1}\) zatem :

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \frac{1}{t} \right)^{t}=e}\)


mam nadzieje że łapiesz

jak nie to może jeszcze coś takiego
w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0}\) pochodna od \(\displaystyle{ sin(x)}\) przyjmuje wartości bardzo bliskie \(\displaystyle{ 1}\)

jak zrobisz sobie pochodną z \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) czy tam \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jak wolisz, to zauważysz ze jej pochodna jest równie bliska sinusowej, a to znaczy ze wyraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) podobnie zbliża się do zera jak wyraz \(\displaystyle{ sin(x)}\)

łapię nawet, ale nie all.

czemu po podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\) przy limesie \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\) ... wiem, że już nie powinno dążyć do \(\displaystyle{ 0}\), ale czemu dąży do \(\displaystyle{ \infty}\)?

i czemu zamieniłeś \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \sin \frac{1}{t} \right)^{ t }}\) na \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \frac{1}{t} \right)^{ t }=e}\)?

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\) to ma się tutaj jak...... nie wiem co do czegoś zupełnie wiemco.

czemu po podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\) przy limesie \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\) ... wiem, że już nie powinno dążyć do \(\displaystyle{ 0}\), ale czemu dąży do \(\displaystyle{ \infty}\)?

No bo teraz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{t}}\), a \(\displaystyle{ x}\) ma dążyć do zera wiec \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\)

i czemu zamieniłeś \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \sin \frac{1}{t} \right)^{ t }}\) na \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \frac{1}{t} \right)^{ t }=e}\) ?

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1\ \ \ \ / \cdot x \\ \lim_{x \to 0} \sin x =x \\ \lim_{x \to 0} 1+ \sin x =1+x \\ \lim_{x \to 0} \left(1+\sin x \right)^{ \frac{1}{x}}= \left(1+x \right)^{ \frac{1}{x}}}\)


Podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \left(1+ \sin \frac{1}{t} \right)^t=\lim_{t \to \infty} \left(1+ \frac{1}{t} \right)^t =e}\)

jest jeszcze takie uzasadnienie
\(\displaystyle{ (1+sinx)^{1/x}=e^{\ln(1+sinx)^{1/x}}=e^{(1/x)\ln(1+sinx)}}\)

teraz liczymy z de l"hospitala( symbol nieoznaczony 0/0)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+sinx)}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{cosx}{1+sinx}=1}\)

zateml
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}(1+sinx)^{1/x}=e^1=e}\)

ostatnie dwa wyjaśnienia mi się podobają najbardziej...

dzięki Linka i Chlip!

bisz też dzięki!