Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), to liczba

\(\displaystyle{ \frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}+34n^{13}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}+714n^5-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}}\)

jest naturalna.


Jak to w miarę zwięźle pokazać?

Patrząc na to możemy zauważyć, że można by spróbować pokazać, że jest to suma którychś potęg liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), a skoro jest to wielomian stopnia \(\displaystyle{ 19}\), to narzuca się popatrzeć na \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{18}}\) co istotnie jest naszym wyrażeniem.

W sumie wystarczy, że działa - dzięki.

A dla ludzi nie znających wzoru na \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{18}}\):
\(\displaystyle{ \frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}+34n^{13}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}+714n^5-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798} \in \NN \Longleftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}\in\NN}\)
Korzystając z \(\displaystyle{ \mathbb{MTF}}\), oraz z \(\displaystyle{ n, \ a \in \ZZ_{+} \Rightarrow n^{a} \equiv n \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{19}}{19}=\frac{n^{19}-n+n}{19} \in \NN \Leftrightarrow \frac{n}{19} \in \NN \\
\frac{n^{18}}{2}=\frac{n^{18}-n+n}{2}\in\NN\Leftrightarrow \frac{n}{2} \in \NN \\
\frac{3n^{17}}{2}=\frac{3n^{17}-3n+3n}{2} \in \NN \Leftrightarrow \frac{3n}{2}\in\NN\Leftrightarrow \frac{n}{2}\in\NN\\
\frac{34n^{15}}{5}=\frac{34n^{15}-34n^{3}+34n^{3}}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{34n^{3}}{5}\in\NN \Leftrightarrow \frac{4n^{3}}{5}\in\NN\\
\frac{663n^{11}}{5}=\frac{663n\left(n^{10}-n^{2}+n^{2}\right)}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{663n^{3}}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{3n^{3}}{5}\in\NN\\
\frac{1105n^{9}}{3}=\frac{1105n^{9}-1105n^{3}+1105n^{3}-1105n+1105n}{3}\in\NN \Leftrightarrow \frac{1105n}{3}\in\NN \Leftrightarrow \frac{n}{3}\in\NN\\
\frac{23494n^{7}}{35}\in\NN\Leftrightarrow\frac{9n^{7}}{35}\in\NN\\
\frac{3617n^{3}}{10}\in\NN\Leftrightarrow\frac{7n^{3}}{10}\in\NN\\
\frac{{43867n}}{798}\in\NN\Leftrightarrow\frac{-23n}{798}\in\NN}\)

\(\displaystyle{ \frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}\in\NN\\ \\ \Longleftrightarrow\\ \\
\frac{n}{19}+\frac{n}{2}-\frac{n}{2}-\frac{4n^{3}}{5}-\frac{3n^{3}}{5}+\frac{n}{3}-\frac{9n^{7}}{35}-\frac{7n^{3}}{10}-\frac{23n}{798}\in\NN\\ \\ \Longleftrightarrow \\ \\
\frac{n}{19}-\frac{n^{3}}{10}+\frac{n}{3}-\frac{9n^{7}}{35}-\frac{23n}{798}\in\NN \\ \\ \Longleftrightarrow \frac{n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)}{70}\in\NN\\
n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv n\left(18n+7n-25\right)\equiv25n\left(n-1\right)\equiv 0 \pmod{2}\\
n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)=n\left(18n\left(n^{5}-n+n\right)+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{5} \\
7\mid n \Rightarrow n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{7} \\
7 \nmid n \Rightarrow n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv n\left(18+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{7}}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ \left(2, \ 5 \right)=\left( 2, \ 7\right)=\left( 5, \ 7\right)=1}\)
to dowód został zakończony. No prawie zakończony, bo tak naprawdę to pokazałem, że to jest całkowite, a nie naturalne, ale to już chyba drobiazg.

Dzięki wielkie Ponewor - dopiero teraz zauważyłem, że napisałeś, fajny sposób.