Wyznacz równanie krzywej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
qwertyuio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 5 paź 2011, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Wyznacz równanie krzywej

Post autor: qwertyuio » 7 mar 2013, o 15:48

Dany jest zbiór trójkątów prostokątnych leżących w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, których przyprostokątne zawarte są w osiach układu współrzędnych. Pole każdego trójkąta jest równe 24. Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez środki przeciwprostokątnych tych trójkątów.

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Wyznacz równanie krzywej

Post autor: lukasz1804 » 7 mar 2013, o 16:01

Końce przeciwprostokątnych mają współrzędne postaci \((x,0),(0,y)\) dla pewnych \(x,y\in\RR\). Ponieważ trójkąty znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych, mamy \(xy<0\). Ponadto na podstawie wzoru na pole trójkąta dostajemy \(|xy|=48\), tj. w myśl powyższego \(xy=-48\).
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wynika, że środki przeciwprostokątnych znajdują się w punktach \(\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)\).

Stąd \(\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{24}{x}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{12}{\frac{x}{2}}\right)\), więc równanie szukanej krzywej ma postać \(y=-\frac{12}{x}\).

ODPOWIEDZ