Matematyka.pl

Witam,
Treść: liczby \(\displaystyle{ 3^{x}+ \frac{2}{9}, 3^{x}, 3 ^{x-1}}\) sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego. Oblicz \(\displaystyle{ x}\).

No i zadanie pewnie proste ale nie lapie co robie zle?
Robie tak:

\(\displaystyle{ \left( 3^{x} \right) ^{2} = \left( 3^{x}+ \frac{2}{9} \right) \cdot 3^{x-1}}\)
\(\displaystyle{ 3^{2x}= 3^{2x-1}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{x-1}}\)
\(\displaystyle{ 3^{2x}= 3^{2x-1}+ 3^{-x+1}}\)
W ogóle dobrze sie za to zabrałem? Jeśli tak, to co dalej ?

podstawienie \(\displaystyle{ 3^{x}=t}\)

O ile do lewej strony rownania bez problemu moge wstawic t zamiast \(\displaystyle{ 3^{x}}\), to jak to zrobic z prawej? Np przy \(\displaystyle{ 3^{2x-1}}\) ??

Przejście z
\(\displaystyle{ \left( 3^{x} \right) ^{2} = \left( 3^{x}+ \frac{2}{9} \right) \cdot 3^{x-1}}\)
na
\(\displaystyle{ 3^{2x}= 3^{2x-1}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{x-1}}\)
jest nieprawidłowe, bo niby dlaczego
\(\displaystyle{ \frac29\cdot 3^{x-1}=\left( \frac{1}{3} \right) ^{x-1}}\) ?

Jak masz równanie
\(\displaystyle{ \left( 3^{x} \right) ^{2} = \left( 3^{x}+ \frac{2}{9} \right) \cdot 3^{x-1}}\)
to \(\displaystyle{ 3^{x-1}}\) przedstawiasz jako \(\displaystyle{ 3^x \cdot 3^{-1}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac13\cdot 3^x}\). Wynika to z własności mnożenia potęg o takich samych podstawach:
\(\displaystyle{ a^b\cdot a^{-c}=a^{b-c}}\)

i teraz podstawiasz \(\displaystyle{ 3^x=t}\) z założeniem \(\displaystyle{ t>0}\).