Odległość ciągów w przestrzeni l_{2}

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
IloveMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 130
Rejestracja: 2 mar 2013, o 14:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Staszów

Odległość ciągów w przestrzeni l_{2}

Post autor: IloveMath » 2 mar 2013, o 16:38

W przestrzeni \(l_{2}\) wyznaczyć odległość ciągów \(x=\left( x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}}\) i \(y=\left( y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N*}}\), gdzie \(k \in \mathbb{N*}\) i
\(x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)\), \(y=\left( 0, 0,...\right)\).
\(\mathbb{N*}=\left\{ 1, 2,...\right\}\).

\(x=\left( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \right)\)
\(y=\left( 0, 0,...\right)\)

\(\left| \left| x-y\right| \right|_{2}=?\)
\(\left| \left| x-y\right| \right|_{2}=\left| \left| \bigg( \underbrace{\frac{1}{k}, \frac{1}{k},..., \frac{1}{k}}_{k}, 0, 0,... \bigg) \right| \right|=\left( \sum_{i=1}^{ \infty }\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left( \sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } =\left( k\left( \frac{1}{k} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{k} \cdot \frac{1}{k}\)

moje pytanie jest następujące: czy mój tok rozumowania tego jest dobry?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Odległość ciągów w przestrzeni l_{2}

Post autor: yorgin » 2 mar 2013, o 16:40

Wszystko się pięknie zgadza.

ODPOWIEDZ