Wyznaczyć największą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) taką, że dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) wszystkie liczby \(\displaystyle{ y_1,y_2,...,y_k}\) są pierwsze.
2. Czy istnieje taka para funkcji \(\displaystyle{ g,h:\mathbb{R} -> \mathbb{R}}\), że jedyną funkcją \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} -> \mathbb{R}}\) taką, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} f(g(x))=g(f(x)) \wedge f(h(x))=h(f(x))}\) jest identyczność?
3. Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\). \(\displaystyle{ P=AB \cap CD, Q=AD \cap BC, R=AC \cap BD}\). \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PQ}\), a odcinek \(\displaystyle{ MR}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w \(\displaystyle{ K}\).
Wykaż, że okręgi \(\displaystyle{ PKQ}\) i \(\displaystyle{ \omega}\) są styczne.
4. Na płaszczyźnie dane są czworokąty wypukłe\(\displaystyle{ P, P'}\), oraz punkt \(\displaystyle{ O}\), który należy do ich części wspólnej (tzn. wnętrza lub brzegu). Wiemy, że dla każdej prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\), odcinek wspólny \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ P}\) jest dłuższy niż odcinek wspólny \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ P'}\).
Czy może być prawdą, że \(\displaystyle{ \frac{[P']}{[P]}>1,9}\)?
5. Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ k\geq 2}\). Niech \(\displaystyle{ a_1=1}\) oraz dla każdej całkowitej \(\displaystyle{ n\geq 2}\), \(\displaystyle{ a_n}\) będzie najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ x>a_{n-1}}\) spełniającą równanie
6. \(\displaystyle{ 2n}\) żetonów umieszczono w wierzchołkach \(\displaystyle{ 2n-}\)kąta foremnego, po jednym w każdym wierzchołku. Operacja polega na wybraniu boku \(\displaystyle{ 2n-}\)kąta i zamianie miejscami żetonów na jego końcach. Przypuśćmy, że każda para żetonów została zamieniona dokładnie raz.
Wykaż, że istnieje bok, który nie został wybrany w żadnej operacji.