Matematyka.pl

Dzień Dobry,

Tak jak w temacie mam za zadanie wyznaczyć potencjał pola jeśli takie istnieje.

\(\displaystyle{ \vec{W}= \left[ 1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} , \frac{x}{z} + \frac{x}{ y^{2} }, \frac{-xy}{ z^{2} } \right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x}=1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} \\ \frac{ \partial F}{ \partial y}= \frac{x}{z} + \frac{x}{ y^{2} } \\ \frac{ \partial F}{ \partial z}= \frac{-xy}{ z^{2} }\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int {\frac{ \partial F}{ \partial x}\cdot dx}=\int{1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z}\cdot dx}}\)

\(\displaystyle{ F \left( x,y,z \right) = \left( 1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} \right) \int {1 \cdot dx = 1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} \cdot x + A(y,z)}\)

A - to zmienna

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=x- \frac{z}{y} + \frac{xy}{z} + A(y,z)}\)

Teraz wybieram różniczkę po "y" lub po "z" i tutaj zaczynają się dla mnie schody. Nie mam pojęcia jak obliczyć pochodną cząstkową funkcji i zmiennej, które zapisałem poniżej.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial z} = \frac{(-xy)'\cdot z^2 + (z^2) \cdot -xy}{(z^2)^2}= \frac{2x\cdot - xy}{(z^2)^2}}\)

Dobrze zastosowany wzór na iloraz pochodnej?

Z góry dzięki za pomoc

Kondrus pisze:
\(\displaystyle{ \int {\frac{ \partial F}{ \partial x}\cdot dx}=\int{1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z}\cdot dx}}\)

\(\displaystyle{ F(x,y,z)= \left( 1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} \right) \int {1 \cdot dx = 1- \frac{1}{y}+ \frac{y}{z} \cdot x + A(y,z)}\)

Nie napisałeś nawiasu i wynik się sypie...

Kondrus pisze: A - to zmienna

\(\displaystyle{ A}\) nie jest zmienną, tylko funkcją.

Generalnie dobrze byłoby sprawdzić, czy w ogóle potencjał istnieje.

Do sprawdzenia potencjału należy przyrównać pochodną cząstkową \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial z} = \frac{ \partial A}{ \partial z}}\) czyli obliczyć jeszcze \(\displaystyle{ \frac{ \partial A}{ \partial z}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial A}{ \partial z} = > x- \frac{z}{y} +\frac{xy}{y}}\)

Czy w powyższej pochodnej należy zastosować dwa razy wzór na iloraz pochodnej? dla \(\displaystyle{ \frac{z}{y}}\) i \(\displaystyle{ \frac{xy}{z}}\) ?

Chodzi o to, że po pierwszym całkowaniu źle jest napisana funkcja \(\displaystyle{ F}\).