Matematyka.pl

Hej, mam problem z zadaniem dla kolegi, co wiąże się z tym, że nie wiem do końca o co chodzi.

Niech \(\displaystyle{ \Delta}\) to operator Laplace'a, a \(\displaystyle{ f(x)=\sin(2x)\cos(x)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ e^{\Delta it} f(x)}\).

Czy zadanie jest dobrze napisane? Operator Laplace'a jest sumą drugich pochodnych cząstkowych, więc nie rozumiem, jak tu można cokolwiek takiego policzyć.

To samo mu mówiłem. Twierdzi, że jest ok. Wspomniał też, że może to się wiązać z rozbijaniem na szeregi (?) i podał twierdzenie, które powinno się do tego odnosić.

Tw. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie operatorem hermitowskim na przestrzeni \(\displaystyle{ H}\), której funkcje własne tworzą bazę tej pni, niech \(\displaystyle{ F(x)}\) będzie funkcją rzeczywistą bądź zespoloną taką, że \(\displaystyle{ F(\lambda_n)}\) jest zdefiniowana. Wtedy: \(\displaystyle{ F(L)f= \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot F(\lambda_n) \cdot \phi_n}\).

Z tego co wiem, to \(\displaystyle{ \phi_n}\) są funkcjami własnymi operatora \(\displaystyle{ L}\). Reszta owiana jest tajemnicą.

Wygląda to jak wariant twierdzenia spektralnego. Nie wiem, jak ma być użyteczne w zadaniu, którego treści nie rozumiem...

Dostarczono mi oryginalną treść zadania...

Rozważyć operator Laplace'a \(\displaystyle{ -\Delta}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ L^2(0,\pi)}\) z warunkami brzegowymi Dirichleta, obliczyć \(\displaystyle{ e^{-it\Delta} f}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=\sin(2x)\cos(x)}\).

Czy teraz ma to jakiś sens? Sam nie wiem jak się za to zabrać.

Łatwo sprawdzić, że funkcje \(\displaystyle{ \sin(kx)}\) są funkcjami własnymi operatora \(\displaystyle{ -\bigtriangleup}\) i rozpinają \(\displaystyle{ L^{2}(0,\pi)}\). Wobec tego, żeby skorzystać z twierdzenia spektralnego, należy rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f}\) w szereg Fouriera.