Wzór jawny na n-ty wyraz ciągu określonego rekurencją

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
fryxjer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 27 lis 2006, o 22:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Raciborz
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 23 razy

Wzór jawny na n-ty wyraz ciągu określonego rekurencją

Post autor: fryxjer » 24 lut 2013, o 06:06

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1 \\ a_{1}=2 \\ a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n} \end{cases}}\)

Mogę tak sobie to zrobić:
\(\displaystyle{ a_{k}=a_{n+2}}\)
\(\displaystyle{ a_{k}=2a_{k-1}+3a_{k-2}}\)
itd. a potem sobie zamienić z powrotem? Czy tutaj się robi jakoś inaczej? bo z tego wychodzi
\(\displaystyle{ a_{n+2}=\frac{1}{4}(-1)^{n+2}+\frac{1}{4}(3)^{n+2}}\)
i z tego \(\displaystyle{ a_{n}}\) ??

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wzór jawny na n-ty wyraz ciągu określonego rekurencją

Post autor: yorgin » 24 lut 2013, o 11:43

Zapisy

\(\displaystyle{ (1)\qquad a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ (2)\qquad a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n}\)

są dokładnie tym samym. Jedyna różnica, to taka że pierwszy jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\), a drugi dla \(\displaystyle{ n\geq 0}\)

Nie musisz robić żadnego podstawienia, gdyż oba zapisy dają Ci takie samo równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ x^2=2x+3}\)

którego rozwiązania zapisujesz zawsze w postaci

\(\displaystyle{ a_n=A(-1)^n+B\cdot 3^n}\)

I to nie zależnie od tego, czy wcześniej stosujesz zapis (1) czy (2).

ODPOWIEDZ