Całka rekurencyjna, transformata Laplace'a

[djlinux]

Witam
Mam do policzenia całeczke (transformata Laplace'a z definicji dla \(\displaystyle{ t^{n}}\)):
\(\displaystyle{ \mathcal{I} = \int_{0}^{ \infty } e^{-s t} * t ^{n} dt}\)
Całka nieoznaczona jest rekurencyjna, jak wyprowadzić wzór w postaci ogólnej ?
\(\displaystyle{ \mathcal{I}(n) = \frac{-e ^{-s t} * t ^{n} + n * \mathcal{I}(n-1) }{s}}\)
Proszę o wskazówki.

[yorgin]

Całkując przez części:

\(\displaystyle{ u=t^n\qquad\qquad v'=e^{-st}\\
u'=nt^{n-1}\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}}\)

[djlinux]

Przez części to wiem, wzór na n-tą całkę to (proszę o sprawdzenie):
\(\displaystyle{ \frac{- e ^{-s t}}{s} * \sum_{i=0}^{n} * \frac{n! * t^{n-i}}{(n-i)! * s^{i}}}\) ?

[yorgin]

Pierwszy krok robisz niepoprawnie:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(n) = \int_{0}^{ \infty } e^{-s t} * t ^{n} dt=\\
\\
\left.-\frac{t^ne^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}+\frac{n}{s}\mathcal{I}(n-1)}\)

czyli

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(n)=\frac{n}{s}\mathcal{I}(n-1)}\)

Dalej powinno być łatwo.

[djlinux]

Pierwszy krok robisz niepoprawnie:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(n) = \int_{0}^{ \infty } e^{-s t} * t ^{n} dt=\\
\\
\left.-\frac{t^ne^{-st}}{s}\right|_{0}^{\infty}+\frac{n}{s}\mathcal{I}(n-1)}\)
...

Napisałem to w pierwszym poście(jako całka nieoznaczona). Ale teraz widzę, że będzie się tylko liczył ten składnik przy n=0.
Dzięki

[yorgin]

Transformata Laplace'a to całka oznaczona. Podstawienie granic jest bardzo ważne, bez niego nie masz prawa pisać

\(\displaystyle{ \mathcal{I}(n) = \frac{-e ^{-s t} * t ^{n} + n * \mathcal{I}(n-1) }{s}}\)

Ewentualnie stosuj inną symbolikę, gdyż taki zapis poprawny nie jest - tracisz za niego punkty/na ocenie.