Matematyka.pl

Mam problem jak rozwiązać to równanie :
\(\displaystyle{ z^{2}-i=0}\) otrzymuje dwa pierwiastki \(\displaystyle{ z _{1}= \sqrt{i} z _{2}=- \sqrt{i}}\) z czego dalej muszę skorzystać ? Wiem że wynik jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) jeden jest dodatni a drugi ujemny. Proszę o pomoc.

Może wzór de Moivre'a się przyda?

Tak też myślałem, tylko co zamiast \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) mogę wstawić ? Jak wstawię \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) to otrzymam \(\displaystyle{ \left| \sqrt{i} \right|\left( \cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4} \right)}\) i wychodzi mi dalej \(\displaystyle{ \sqrt{i}\left( \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) i co teraz mogę z tym jeszcze zrobić ? wymnażam to i koniec ?

Źle liczysz moduł i nieprawidłowo stosujesz wzór. Jeszcze raz się przyjrzyj i popraw się.

moduł będzie równy jeden ?

Zgadza się. Co dalej?

A takie szybkie pytanie jeszcze jak licze ten modul \(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ x^{2}+ iy^{2} }}\) to za \(\displaystyle{ x}\) podstawiam zero a w miejsce \(\displaystyle{ y}\) podstawiam jeden czy \(\displaystyle{ i}\) ? dalej w tym wzorze podstawiam do \(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) co mi daje \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) z \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) , tak ?

Wzór na moduł jest nieprawidłowy.

Drugie pytanie: owszem, wyjdzie jak piszesz, ale coś trzeba jeszcze dodać do kątów. Sprawdź sobie dokładnie wzór.

pod pierwiastkiem modułu nie powinno być po \(\displaystyle{ i}\) , o to chodzi ? I wtedy za \(\displaystyle{ y}\) podstawiam \(\displaystyle{ 1}\) i moduł otrzymuje jeden bo \(\displaystyle{ x=0}\) , a do \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) dodaje \(\displaystyle{ 2k \pi}\) , gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2 \ldots}\) , teraz jest ok ?

Moduł ok.

Ale dodajesz tylko do \(\displaystyle{ n-1}\), czyli \(\displaystyle{ k=0, 1}\).

Czyli tak jakby wychodzą mi wtedy "4 pierwiastki" , zgadza się ?

Nie mogą Ci wyjść cztery pierwiastki, gdy masz wielomian stopnia drugiego.

Chodzi mi o ten zapis z k , podstawiam tylko k=0 i uwzgledniam wczesniej jedynie dla jakich k się liczy i tyle , tak ?

Napisz, co według Ciebie wychodzi z tego, co do tej pory wiemy.