Matematyka.pl

Zadanie 1.
Rozwiazac w liczbach rzeczywistych uklad rownan. nie wiem jak wogole z tym ruszyc !

\(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_1^2}=\frac{x_2}{x_2^2+1}=\ldots=\frac{x_n}{x_n^2+1}}\)
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + ... + x_n + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} = \frac{10}{3}}\)

Ale żadnego układu jak na razie tu nie widzę

Weź zbuduj wielomian \(\displaystyle{ a(x-a_{1}) * ... * (x-a_{n})}\). I dalej jedziesz ze wzorów Viete'a

Wystarczy odwrócić stronami pierwsze równanie...
A zadanie drugie masz już rozwiązane w odpowiednim temacie..

sorry za zdublowane zadanie, co ta matma robi z czlowiekiem nie bardzo rozumiem co da w tym pierwszym zadaniu odwrocenie stronami :-/ moglbys to jakos jasniej nakreslic? pozdrawiam

2 jak już pisałem można z Viete'a. A co do 1 - pierwszy ułamkiem nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_1^2+1}}\)

no wlasnie o to chodzi ze nie :-/ i w tym mam caly problem :-/ moje gg 2109030 moglbys napisac? tresc jest na pewno zgodna trzeba rozwiazac taki uklad rownan

GG nie posiadam to primo.
Co do zadania - odwrucenie daje ci to, że dostajesz:
\(\displaystyle{ x_1 = x_2 + \frac{1}{x_2}}\)
Spełniać to będzie tylko 1 para liczb bo funkcja \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\) jest różnowartościowa.
Dalej juz chyba powinno pujść

ok odwracam pierwsze stronami rozumiem. ale jak w drugim wykorzystac wzory vieta? przeciez to jest chyba ciag i nie wiadomo czy arytmetyczny czy geometryczny :-/ znczy 2 ciagi wiesz o co chodzi. moglbys dokladniej?

Budujesz sobie taki wielomian jaki napisałam. Jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ a_1, a_2, ... a_n}\). I teraz stosujesz wzory Viete'a - np. suma wszytskich pierwistków to \(\displaystyle{ \frac{-b}{a}}\). Parametry wielomianu uzyskasz jak wymnożysz nawiasy. Trochę to twoje równanie poprzekształcać (sume odwrotności do wspólnego mianownika itp.) i wszytko powinno tym sposobem wyjść.

moglbys opdac ten wielomian? ja wogole nie rozumiem o co ci chodzi :-/

Wielomian masz w moim piewszym poście. Ogólnie sposób nie należy do standarowych i nie gwarantuje czy to zadanko by nim poszło. Spróbuje pomysleć nad czymś innym, albo to rozpisać. Ale jak już to jutro, na dziś wymiekam

kurcze ja to mam na jutro. dalbys rade tak do 11:40? licze na ciebie :-D ale jak ten wielomian by wygladac? skad tam to a . napisz tylko to !

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} + \frac{1}{x_{2}} = \ldots = x_{n} + \frac{1}{x_{n}}\\
x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + x_{2} + \frac{1}{x_{2}} + \ldots + x_{n} + \frac{1}{x_{n}} = \frac{10}{3}
\end{array}\right.}\)

Podstawiamy do drugiego równania to co mamy z pierwszego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + (n - 1)x_{1} = \frac{10}{3}}\)
No i widzimy, że \(\displaystyle{ x_{1}}\) musi być dodatnie, ale wtedy:
\(\displaystyle{ x_1 + \frac{1}{x_1} \geqslant 2}\)
stąd:
\(\displaystyle{ (n - 1)x_1 \leqslant \frac{4}{3}}\)
zatem (sensowne wydaje mi się założenie, że n naturalne i nie mniejsze od dwóch):
\(\displaystyle{ x_1 \leqslant \frac{4}{3}}\)
wtedy z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ x_{2} > 0}\) oraz:
\(\displaystyle{ x_{2} + \frac{1}{x_{2}} \leqslant \frac{4}{3} < 2}\)
sprzeczność, ergo równanie nie ma zadowalających nas rozwiązań.


oczywiste jest, że \(\displaystyle{ x + \tfrac{1}{x} \geqslant 2}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), ponieważ dla x dodatnich:
\(\displaystyle{ (x - 1)^{2} \geqslant 0\\
x^{2} - 2x + 1 \geqslant 0\\
x - 2 + \tfrac{1}{x} \geqslant 0\\
x + \tfrac{1}{x} \geqslant 2}\)

...a funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x + \frac{1}{x}}\) nie jest różnowartościowa (\(\displaystyle{ f(x) = f(\tfrac{1}{x})}\))

rozwiazac w liczbach rzeczywistych