Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie krok po kroku.

Oblicz pierwszą pochodną funkcji:
a) \(\displaystyle{ f(x)= 4^{x} + 3x^{10} + \frac{3}{ \sqrt[3]{x^2} }}\)
b) \(\displaystyle{ g(x)= \ln (\cos x)}\)

A od siebie coś?

Chciałabym to ogarnąć w taki sposób, że mi ktoś to rozpisze.

a) \(\displaystyle{ \blue f(x)= 4^{x} + 3x^{10} + \frac{3}{ \sqrt[3]{x^2} }}\)

\(\displaystyle{ \left( 4^x\right)' =4^x\ln 4}\)
\(\displaystyle{ \left(3x^{10} \right)'=3\cdot10x^9=30x^9}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{ \sqrt[3]{x^2} } \right)'=3\left(\frac{1}{ x^{\frac23} } \right)'=3\left(x^{-\frac23} } \right)'=3\left( -\frac23x^{-\frac23-1}\right)=-2\cdot\frac{1}{x^1\cdot x^{\frac23}}=-\frac{2}{x\sqrt[3]{x^2}}}\)

\(\displaystyle{ \red f'(x)=4^x\ln x+30x^9-\frac{2}{x\sqrt[3]x^2}}\)


b) \(\displaystyle{ \blue g(x)= \ln (\cos x)}\)

\(\displaystyle{ g'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)'=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)\ \ \green \Rightarrow \red\ \ g'(x)=-\tg x}\)

W podpunkcie b) trzeba skorzystać z funkcji złożonej ?

I czy takie rozwiązanie tego zadania jest dobre:

\(\displaystyle{ h(x)=\ln (\cos x)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) - zewnętrzna \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ \cos ^{2}x }}\)
\(\displaystyle{ g(x)=\cos x}\) - wewnętrzna \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ g'(x)= -\sin x}\)

\(\displaystyle{ h'(x)= \frac{1}{ \cos ^{2}\cos x } \cdot -\sin x}\)

Czy to jest dobrze ?

Tak. W końcu funkcja, której pochodną liczysz, jest funkcją złożoną…