Matematyka.pl

mam takie zadanie:

Oblicz granicę górną i dolną ciągu:
\(\displaystyle{ a_n= n^{3/2}( \sqrt{n^{3}+1} - \sqrt{n^{3}-1})\sin\frac{\pi}{2}n + (-1)^n\frac{2+(-1)^n}{4}}\)

Rozłożyłam to sobie, i:
1. \(\displaystyle{ n^{3/2} \rightarrow \infty}\)

2. \(\displaystyle{ (\sqrt{n^{3}+1} - \sqrt{n^{3}-1} ) \rightarrow 0}\)

3. \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2}n \rightarrow 0}\) ?

4. \(\displaystyle{ (-1)^n\frac{2+(-1)^n}{4} \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) albo \(\displaystyle{ -\frac{1}{4}}\) w zależności od tego czy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą parzystą

no i mam pytania:

Jak policzyć granicę nr. 3 (wyszła mi 0 ale nie jestem pewna tego wyniku)?
Czy jeśli granica nr.2 wychodzi 0 to iloczyn granic 1,2 i 3 będzie równy 0? Jeśli nie, to co z tym zrobić?

ta granica też będzie zależna od n i może wynosić 1, -1 lub 0
Zauważ, że pierwsza granica wynosi nieskończoność więc będziesz mieć symbol nieoznaczony.
Granicy górna i dolna to najmniejsza i największa możliwa granica jaką może osiągnąć podciągu tego ciągu (czyli inaczej mówiąc największa i najmniejsza wartość granicy w zależności od tego do czego zmierza granica nr 3 i 4.)
Na początku proponuje potraktować pierwsze dwie granice jaką jedną i ją obliczyć.

Ok, policzyłam dwie pierwsze granice jako jedną i wyszło 0.

Dlaczego trzecia granica wynosi -1,1 lub 0? Wiem granicą \(\displaystyle{ \sin{n}}\) jest 1 albo -1.

masz błąd w tej granicy, policz jeszcze raz bo nie wynosi ona 0.
Co do granicy sinn to przy n dążącym do nieskończoności jest ona nieokreślona, wiemy jedynie że sinus jest ograniczony. zauważ za to, że jeżeli pomnożysz \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) przez liczbę całkowitą (w naszym wypadku n) to otrzymasz
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{ 3 \cdot \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot \pi}\)

itd. a że sinus jest funkcją o okresie 2 pi to jego wartości będą się powatarzać. No i teraz zastanów się jakie wartości przyjmuje sinus w przediale od 0 do 2 pi dla podanych przeze mnie wyżej wartości

Dobrze, rozumiem o co chodzi z sinusem.

Pomnożyłam licznik i mianownik przez\(\displaystyle{ n^{3/2} \left( \sqrt{n^{3}+1} + \sqrt{n^{3}-1} \right)}\) w liczniku wszystko się poskracało do 0 a granica mianownika wynosi \(\displaystyle{ \infty}\).

\(\displaystyle{ \frac{0}{ \infty }}\) to 0, chyba

nie przemnożyłaś licznika przez \(\displaystyle{ n^{3/2}}\) powinno być dwa razy w liczniku, wtedy tylko jedno się skróci Następnie wyciągasz i z mianownika i z licznika \(\displaystyle{ n^{3/2}}\) przed nawias i masz gotową granicę. Widzisz już ?