Czy istnieje całka (trudne)
: 16 lut 2013, o 19:21
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \lim_{ n\to \infty } ( \frac{(1+ \cos( \frac{a}{n}) + \cos( \frac{2a}{n}) + ... + \cos( \frac{a(n-1)}{n} }{n}) ) da}\)
Istnieje.
Z definicji całki Riemanna:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}\cos\left( \frac{ak}{n} \right) \cdot \frac{a}{n}=\int_{0}^{a}\cos x \mbox{d}x = \sin a}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}\cos\left( \frac{ak}{n} \right) \cdot \frac{a}{n} \cdot \frac{1}{a} \mbox{d}a = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin a}{a} \mbox{d}a}\)
A ta całka jest zbieżna.