Matematyka.pl

Cześć,
mam problem, rozwiązując zadanie doszłam do pewnego momentu, chodzi o policzenie całki, próbowałam podstawieniem i przez części ale nie wychodzi nic sensownego. Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \iint_Dy\sin \frac{x y^{2} }{2}\mbox{d}x\mbox{d}y}\)
obszar jest ograniczony krzywymi:
\(\displaystyle{ x=0, y= \sqrt{ \pi }, y= \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \sqrt{ \pi } } \left( \int_{0}^{2y}y\sin \frac{xy^{2}}{2} \right) \mbox{d}x\mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \int y\sin \frac{xy ^{2} }{2}\mbox{d}x = \frac{1}{2} \int y\sin xy ^{2} \mbox{d}x = \frac{1}{2}y \int \sin xy ^{2} \mbox{d}x = \left\{ t = xy ^{2}, \mbox{d}t = y ^{2} \mbox{d}x, \frac{\mbox{d}t}{y ^{2} =\mbox{d}x } \right\} \frac{1}{2}y \int \sin t \frac{\mbox{d}t}{y ^{2} } = \frac{1}{2}y \frac{1}{y ^{2}} \int\sin t\mbox{d}t = \frac{1}{2y} \cos t = \frac{1}{2y} \cos xy ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2y} \cos xy ^{2} \right] ^{2y} _{0}= \frac{1}{2y} \cos 0y ^{2}-\left[ \frac{1}{2y}\cos 2yy ^{2} \right] = - \frac{1}{2y} \cos 2y ^{3} = -\cos y ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \int -\cos y ^{2} \mbox{d}y = ...?}\)

Nie możesz wyrzucić \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) spod sinusa przed całkę.

Jeżeli nie mogę wyrzucić to jak powinnam obliczyć tą całkę ?

Policzmy tą pierwszą całkę.
Żeby ją policzyć skorzystamy ze wzoru: (całkujemy po \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\) jest traktowany jako stała \(\displaystyle{ a}\)).
\(\displaystyle{ \int\sin\left( a\cdot x\right) \mboxx dx=-\frac{1}{a}\cos\left( a\cdot x\right)+C}\)
I wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \int y\cdot\sin\left(\frac{x\cdot y^2}{2} \right) \mboxx dx=-y\cdot\frac{2}{y^2}\cos\left( \frac{x\cdot y^2}{2}\right)+C=-\frac{2}{y}\cos\left( \frac{x\cdot y^2}{2}\right)+C}\)
Całka oznaczona wyniesie wtedy:
\(\displaystyle{ \int_{x=0}^{x=2\cdot y} y \cdot \sin\left( \frac{x\cdot y^2}{2}\right) \mboxx dx=\left[ -\frac{2}{y}\cos \left( \frac {x\cdot y^2}{2}\right) \right] _{x=0} ^{x=2\cdot y}= \left[ \left( -\frac{2}{y}\cos \left( \frac{2y\cdot y^2}{2} \right) \right)-\left( -\frac{2}{y}\cos \left( \frac{0\cdot y^2}{2}\right) \right) \right] \\ = -\frac{2}{y}\cos\left( y^3\right) +\frac{2}{y}\cdot 1\\}\)
Policzenie drugiej całki wygląda tak:
\(\displaystyle{ \int \left( -\frac{2}{y}\cos\left( y^3\right)+\frac{2}{y} \right)\mboxx dy= -2\int \frac{\cos\left( y^3\right)}{y}\mboxx dy+2\int \frac{\mboxx dy}{y}=-2\int \frac{\cos \left( y^3\right)}{y} \mboxx dy+\\ +2\cdot \ln\left| y\right|+C \\ -2\int \frac{\cos\left( y^3\right)}{y}\mboxx dy=\left[ \begin{array}{c}y^3=t \\ 3y^2 \mboxx dy= \mboxx dt\\ \mboxx dy= \frac{\mboxx dt}{3\cdot y^2} \end{array}\right]= -\frac{2}{3}\int \frac{\cos \left( y^3\right)}{y\cdot y^2}\mboxx dt =- \frac{2}{3}\int \frac{\cos\left( t\right)}{t}\mboxx dt +\\ +C = -\frac {2}{3} Ci \left( t\right)+C =- \frac {2}{3} Ci\left( y^3\right)+C}\)
Ostatnia całka to tzw. Cosinus całkowy (całka nieelementarna)
Licząc całkę oznaczoną wychodzi, że jest ona rozbieżna.
\(\displaystyle{ \int_{y=0}^{y= \sqrt{\pi} }\left( -\frac {2\cos\left( y^3}{y}\right)+\frac {2}{y} \right) \mboxx dy = \left[ -\frac{2}{3} Ci\left( y^3\right)+2\ln\left| y\right| \right] _{0} ^{ \sqrt{\pi} } = \\ = \left[\left( -\frac{2}{3} Ci \left( \sqrt{\pi^3} \right)+2\ln\left| \sqrt{\pi} \right| \right)-\left( -\frac{2}{3}Ci\left( 0^3\right)+2\ln\left| 0\right| \right) \right]=+ \infty}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ -2\cdot\ln\left| 0\right| =-\left( - \infty \right)=+ \infty}\)
Wydaje się być dobrze rozwiązane (policzone całki). Nie wiem tylko czy granice całkowania są poprawnie zapisane.