Punkt wewnątrz trójkąta

[kinia7]

W trójkącie równoramiennym \(\displaystyle{ ABC}\) o kącie między ramionami \(\displaystyle{ BAC=80^\circ}\) obrano punkt \(\displaystyle{ D}\) taki, że kąt \(\displaystyle{ DBC=30^\circ}\) i kąt \(\displaystyle{ DCB=10^\circ}\) . Obliczyć kąt \(\displaystyle{ ADC}\).

Z góry dziękuję za pomoc

[piasek101]

Połącz \(\displaystyle{ D}\) z \(\displaystyle{ A}\). I z sinusów w trójkątach \(\displaystyle{ ADB}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) powinno pójść.

[kinia7]

Ale w tych trójkątach mogę ustalić tylko kąty \(\displaystyle{ ACD=40^\circ}\) i \(\displaystyle{ ABD=20^\circ}\). To za mało na znalezienie odpowiedzi
Możesz pokazać jak to powinno iść?

[norwimaj]

W trójkątach, o których wspomniał piasek101, masz dwie pary przystających boków. Rób twierdzenia sinusów właśnie z tymi bokami. Niewiadome kąty możesz sobie oznaczyć przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

[kinia7]

Zrobiłam tak i otrzymałam \(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{ \sin ^{2}40^{\circ}}{\sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}-\sin 20^{\circ}}}\)
nawet jeśli się nie pomyliłam to nie wiem jak z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\)

[norwimaj]

Wydaje mi się, że dobrze policzyłaś. Nie wiem, czy istnieje jakiś krótki, geometryczny sposób. Mielenie tego wyrażenia różnymi tożsamościami trygonometrycznymi nie wydaje się przyjemne, ale z tego co widzę, prowadzi do skutku.

Kroki, które prowadzą do celu:
1. zastosowanie wzoru \(\displaystyle{ \sin40^{\circ}=2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}}\) do sinusa w mianowniku i jednego z sinusów w liczniku,
2. skrócenie ułamka przez \(\displaystyle{ \sin20^{\circ}}\),
3. zastosowanie wzoru na iloczyn kosinusów w mianowniku,
4. zastosowanie równości \(\displaystyle{ \cos60^{\circ}-1=-\cos60^{\circ}}\), wynikającej stąd, że \(\displaystyle{ \cos60^{\circ}=\frac12}\),
5. wzór na różnicę kosinusów,
6. skrócenie ułamka.

[kinia7]

Fajnie że podałeś sześć punktów. Ale cały czas nie mam odpowiedzi na pytanie: kąt \(\displaystyle{ ADC=?}\)

[piasek101]

Zrobiłam tak i otrzymałam \(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{ \sin ^{2}40^{\circ}}{\sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}-\sin 20^{\circ}}}\)
nawet jeśli się nie pomyliłam to nie wiem jak z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\)

Miałem coś podobnego. Prawa jest znana, więc traktujemy, że kąt jest wyznaczony. Chyba, że w odpowiedzi był ,,ładny". Na rysunku miałem (bo piszę z innego miejsca) trzy trójkąty równoramienne - ale nic od tw. sinusów mi nie przyszło do głowy.

[kinia7]

Ale czy napewno trzeba w tym zadaniu korzystać z twierdzenia sinusuw???

[piasek101]

Czy trzeba ? Nikt tego nie narzucał. A można i owszem - patrz moja podpowiedź.

[anna_]

Kąt jest "ładny". Z rysunku wychodzi, że ma mieć \(\displaystyle{ 70^o}\).

[norwimaj]

Z moich obliczeń też wychodzi \(\displaystyle{ 70^{\circ}}\).

[kinia7]

Kąt jest "ładny". Z rysunku wychodzi, że ma mieć \(\displaystyle{ 70^o}\).

Z jakiego rysunku? Ja też zrobiłam rysunek, ale z niego nie wychodzi żaden konkretny kąt.

[timon92]

wskazówka: odbić punkt A względem BC i zauważyć że to odbicie jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BDC

[anna_]

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) wyjdzie, że \(\displaystyle{ |DC|=|AC|}\)

\(\displaystyle{ DAC}\) jest równoramienny.

Punkt wewnątrz trójkąta - zadanie 6.png (16.85 KiB) Przejrzano 1656 razy

Zrobiłam dokładny rysunek i zmierzyłam kąt