Matematyka.pl

ZADANIE: Podstawą graniastosłupa jest siedmiokąt wypukły. Ile przekątnych ma ten graniastosłup?

Moja humanistko, na to potrzeba wyobraźni przestrzennej.

Czy widziałaś przekątną sześcianu? Tutaj chodzi o linię łączącą wierzchołki nie leżące na jednej ścianie. Tak więc sześcian ma cztery przekątne. Jak to liczyłem? Wziąłem sobie dolną ścianę. Z jednego wierzchołka podstawy prowadzę linie do wierzchołków na drugiej podstawie. Tylko jeden z nich nie leży z tym wierzchołkiem na jednej ścianie (bocznej). Wierzchołków podstawy jest cztery, więc i przekątnych cztery.

A teraz siedmiokąt w podstawie. Biorę wierzchołek. I łączę z wierzchołkami przeciwległej ściany. Trzy z nich leżą z nim na tej samej ścianie. Więc pozostają cztery linie - przekątne. To z jednego wierzchołka. Wierzchołków w podstawie mamy siedem, jak (to specjalnie dla humanistki) przypadków w deklinacji. Więc ile jest wszystkich przekątnych?

wojtusp7 pisze:\(\displaystyle{ N= \frac{(n-4) \cdot n}{2}= \frac{10 \cdot 14}{2} =70}\)

a cóż to takiego?

No racja chyba coś się pospieszyłem z odpowiedzią
Chodziło mi oto że w przestrzeni jak ma się n wierzchołków to każdy można połączyć z n-1, a z tego 3 stanowią krawędzie zatem n-4. Zastawiam się czemu to nie działa.

wojtusp7 pisze:No racja chyba coś się pospieszyłem z odpowiedzią
Chodziło mi oto że w przestrzeni jak ma się n wierzchołków to każdy można połączyć z n-1, a z tego 3 stanowią krawędzie zatem n-4. Zastawiam się czemu to nie działa.

wierzchołków w tym graniastosłupie masz 14.
nie możesz połączyć wierzchołka z samym sobą, więc 13.
nie możesz połączyć z tymi w tej samej podstawie, bo to będą przekątne podstawy, więc 7.
nie możesz połączyć z trzema w drugiej podstawie, co to byłaby jedna krawędź boczna i dwie przekątne ścian bocznych, więc 4.
Rozpatrujesz tak kolejno każdy wierzchołek w jednej z podstaw, więc \(\displaystyle{ 7 \cdot 4=28}\). Kij ma dwa końce, toteż nie przeprowadzasz analogicznego rozumowania dla drugiej podstawy, aby nie liczyć krawędzi podwójnie.