Matematyka.pl

Czy zna ktos sposob na obliczenie takiej całki?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{-3x^2+16}{-4x^2+16}} dx}\)

Może podzielenie wielomianów i jakieś podstawienie?

wlasnie po podzieleniu zostaje i tak bardzo niewygodne wyrazenie z wielomianem drugiego stopnia w mianowniku. jestem jeszcze w liceum i nie mam za bardzo kogo zapytac o pomoc. mozliwe ze nie ma sposobu zeby to rozwiazac?

Ten pierwiastek tu zawadza;P Sposób jest na pewno ale niestety ja go nie znam
Może gdybyś pomnożył i podzielił wyrażenie pod pierwiastkiem żeby wyrównać współczynniki przy "iksach" później dodać i odjąć w liczniku przejść na 1 plus/minus coś ale przyznam że to spekulacje.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{3}{4} \cdot \frac{(-12x ^{2}+64 )}{(-12x ^{2}+48 )} }dx}\)

Co o tym sądzisz?

Czyżby to była całka eliptyczna ?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{-3x^2+16}{-4x^2+16}} dx\\
=\int{ \frac{-3x^2+16}{ \sqrt{\left( 16-3x^2\right)\left( 16-4x^2\right) } } \mbox{d}x}}\)

a to przypomina całkę eliptyczną (przynajmniej na pierwszy rzut oka)

U Fichtenholza jest jak sprowadzić taką całkę do całek eliptycznych

wychodzi na to ze to calka eliptyczna.. zastanawiam sie tylko czy moze moglbym skorzystac ze wzoru
na calke eliptyczna rodzaju drugiego postaci Legendre'a.. mozna z wyrazenia uzyskac dlugosc obwodu elipsy? sadze ze tak.. korzystajac ze wzoru na dlugosc krzywej w postaci jawnej \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sqrt {1 + [f'(x)]^2} dx}\) po pszeksztalceniu wychodzi\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+\frac {x^2}{-4x^2+16}dx}\)
teraz policzyc calke z tego \(\displaystyle{ \sqrt{\frac {x^2}{-4x^2+16}}}\) po rozwiazaniu calki \(\displaystyle{ \int \left| \frac {-x} {4\sqrt {1 +\frac{-x^2}{4} }}\right| dx}\) otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)=\left| \sqrt {\frac{-x^2}{4} + 1} \right|}\)
wiec rownanie elipsy wychodzi \(\displaystyle{ y^2=1-\frac{x^2}{4}}\).
Czy pomoglby ktos wstawic to do wzoru Legendre'a?? przyznam ze troche go nie rozumiem nie wiem co wyraza kąt fi.. wytlumaczy ktos? i przy okazji powie czy powyzsze przeksztalcenie ma sens? moze jest sposob prostszy? moze to sprowadzenie o ktorym mowil mariuszm

Kolego możesz powiedzieć skąd taka całka się wzięła? Czy to w wyniku jakichś przekształceń czy treść zadania to po prostu policzyć tę całkę?

calka pochodzi ze zbioru zadan z lat 60tych nie pamietam tytulu bo oddalem do biblioteki jakis czas temu.. calka byla zapisana jak w poscie pierwszym.. zagladalem do fichtelholz'a jednak jak na pierwsza lekture tak trudnego zagadnienia idzie dosc ciezko.. jesli ktos z forumowiczow potrafi policzyc te calke i ma na tyle czasu/dobrej woli aby (zapisac jakies wyjasnienie)/(rozpisac obliczenia krok po kroku) to bylbym bardzo wdzieczny..

Jest to całka eliptyczna niezupełna drugiego rodzaju. Najpierw podstawmy \(\displaystyle{ u=\arcsin\bigg(\frac{x} {2}\bigg)}\) wtedy: \(\displaystyle{ \frac{du} {dx}=\frac{1} {2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}} \Rightarrow dx=2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1} {2} \int \frac{\sqrt{16-3x^2}} {\sqrt{4-x^2}}\cdot 2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}du=\int \frac{\sqrt{16-7x^2+\frac{3} {4}x^4}} {\sqrt{4-x^2}}du}\)
Skorzystajmy z własności: \(\displaystyle{ \sin(\arcsin x)=x}\) w naszym przypadku \(\displaystyle{ \sin(u)=\frac{x} {2} \Rightarrow 4\sin^2(u)=x^2}\) podstawiając:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{16-7(4\sin^2 u)+\frac{3} {4}(4\sin^2 u)^2}} {\sqrt{4-4\sin^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{16-28\sin^2 u+12\sin^4 u}} {\sqrt{4-4\sin^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{4-7\sin^2 u+3\sin^4 u}} {\sqrt{1-\sin^2 u}}du}\)
Skorzystajmy z kolejnej własności: \(\displaystyle{ \cos^2 x=1-\sin^2 x}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{4-7(1-\cos^2 u)+3(1-\cos^2 u)^2}} {\sqrt{\cos^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{\cos^2 u+3\cos^4 u}} {\sqrt{\cos^2 u}}du=\int \sqrt{1+3\cos^2 u}\quad du}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+3\cos^2 u}\quad du=\int \sqrt{1+3(1-\sin^2 u)} du=\int \sqrt{4-3\sin^2 u}\quad du=2\int \sqrt{1-\frac{3} {4}\sin^2 u}\quad du}\)
Ostatecznie jak widać ta całka jest całką eliptyczną niezupełną drugiego rodzaju, ponieważ wzór takiej całki jest następujący:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{(1-k^2\sin^2 \phi)}d\phi\quad k\in(0,1)}\)