Matematyka.pl

Mam dany wyraz ogolny ciagu: \(\displaystyle{ a_n = \frac{6n}{n+1}}\) . Mam wykazac że, \(\displaystyle{ (a_1, a_3, -\frac{1}{2}, a_5 )}\) jest ciagiem arytmetycznym. Jak?

Skorzystaj z definicji ciągu arytmetycznego. Różnica dwóch kolejnych wyrazów jest wartością stałą.

Raczej - wyznacz te wyrazy bo jest ich trzy (cztery) i wtedy patrz (trochę licz - może).

I jeśli np. \(\displaystyle{ a_1 - a_2 = 1}\), a \(\displaystyle{ a_2 - a_3 = 0.5}\), to wtedy ciąg nie jest arytmetyczny, dobrze myślę?

Najczęściej liczymy odwrotnie - ale tak.

Tutaj (treść zadania) raczej ma być arytmetyczny.

No to jak mam to zrobic? I jest w koncu arytmetyczny czy nie?

Skoro masz wzór na n-ty wyraz ciągu, to możesz obliczyć każdy wyraz tego ciągu.
Gdy je obliczysz odejmujesz je.
jeśli np. \(\displaystyle{ a _{3} -a _{2}= const.}\) to jest to ciąg arytmetyczny. Sprawdzasz to nie tylko dla jednej pary

\(\displaystyle{ \blue a_n = \frac{6n}{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(a_1,\ a_3,\ -\frac{1}{2}a_5 \right)}\)

z własności ciągu arytmetycznego musiałoby być
\(\displaystyle{ 2\cdot a_3=a_1+\left( -\frac12a_5\right)}\)

\(\displaystyle{ L=2\cdot a_3=2\cdot\frac{6\cdot3}{3+1}=\ \blue 9}\)

\(\displaystyle{ P=a_1+\left( -\frac12a_5\right)=\frac{6\cdot1}{1+1}-\frac12\cdot\frac{6\cdot5}{5+1}=\ \blue\frac12}\)

\(\displaystyle{ L \neq P \ \ \green \Rightarrow}\) te wyrazy nie tworzą ciągu arytmetycznego



przypadek \(\displaystyle{ \left(a_1,\ a_3,\ -\frac{1}{2},\ a_5 \right)}\) odpada bez liczenia,
gdyż wyrazy \(\displaystyle{ a_n}\) są dodatnie, więc nie może być ujemny jeden z wyrazów ciągu arytmetycznego

ciąg arytmetyczny stanowią tylko wyrazy \(\displaystyle{ \left(a_1,\ a_2,\ a_5 \right)}\)

Ale tam było 4 wyrazy.