Matematyka.pl

Próbuję zrobić to zadanie od dłuższego czasu i chyba złapałem blokadę, proszę chociaż o wskazówki.
Udowodnij że dla \(\displaystyle{ n\in N}\) \(\displaystyle{ n ^{2} -n+9}\) nie dzieli się przez 49.
Próbowałem z indukcji ale przy ostatnim kroku nie mogłem już nic wykminić.

Gdyby \(\displaystyle{ 49}\) dzieliło \(\displaystyle{ n^2-n+9}\), to dzieliłoby także liczbę:
\(\displaystyle{ 4( n^2-n+9) = (2n-1)^2+35}\).
Ale jeśli ta liczba miałaby być podzielna przez siedem, to \(\displaystyle{ 2n-1}\) musiałoby być podzielne przez siedem, a w takim razie \(\displaystyle{ (2n-1)^2}\) musiałoby być podzielne przez \(\displaystyle{ 49}\). W takim razie całość podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\) być nie może.

Q.

Albo podobnie:
\(\displaystyle{ n^2-n+9=n^2-n-12+21=(n+3)(n-4)+21}\)

i wtedy albo obie liczby \(\displaystyle{ n-4,n+3}\) dzielą się przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli ich iloczyn przez \(\displaystyle{ 49}\), albo żadna się nie dzieli.

Ale wtedy trzeba by dowieść że w razie niepodzielnośći suma reszt z dzielenia tez jest niepodzielna.

Ale \(\displaystyle{ (n+3)(n-4)}\) się nie dzielą wtedy przez \(\displaystyle{ 7}\), więc \(\displaystyle{ (n+3)(n-4)+21}\) też się nie dzieli, zatem przez \(\displaystyle{ 49}\) się nie może dzielić.