Matematyka.pl

Witam, rodzinę \(\displaystyle{ \{A_s\}_{s \in S}}\) nazwiemy lokalnie skończoną jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) istnieje jego otoczenie \(\displaystyle{ U_x}\) takie że \(\displaystyle{ \{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony.

W Engelkingu znajdziemy twierdzenie:
Jeśli rodzina \(\displaystyle{ \{A_s\}_{s \in S}}\) jest lokalnie skończona to rodzina \(\displaystyle{ \{cl A_s\}_{s \in S}}\) też.

Dlaczego nie mamy tutaj równoważności która dla mnie wydaje się być oczywista, gdyż jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ U_x}\) takie że \(\displaystyle{ \{s \in S: cl A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony to z faktu że \(\displaystyle{ A_s \subset cl A_s}\) mamy od razu że także \(\displaystyle{ \{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony ?!

Zapewne dlatego, że dobrym zwyczajem jest zawarcie w treści twierdzenia tylko rzeczy istotnych i pominięcie treści trywialnych.

JK

A czy jest szansa na szkic dowodu tej drugiej, nietrywialnej implikacji ?

Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset clA}\) to \(\displaystyle{ \{s \in S \colon clA_s \cap U_x \neq \emptyset \} \supset \{s \in S \colon A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\). Tak więc jeśli rodzina\(\displaystyle{ \{clA_s \}_{s \in S}}\)jest lok. skończona, to także i rodzina\(\displaystyle{ \{A_s \}_{s \in S}}\)

Oczywiście bierzemy dowolny \(\displaystyle{ x\in X}\). Niech \(\displaystyle{ U_x}\) będzie takim otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), że zbiór \(\displaystyle{ S_x:=\{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony.

Chcemy znaleźć takie otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), żeby to otoczenie nie przecinało się z żadnym ze zbiorów \(\displaystyle{ \mathrm{cl} \;A_s}\) dla \(\displaystyle{ s\in S\setminus S_x}\). Takim otoczeniem jest \(\displaystyle{ U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\). Tylko trzeba pokazać, że jest to zbiór otwarty. Zastanów się, czy nie wynika to z jakiejś już poznanej przez Ciebie własności rodzin lokalnie skończonych.

Edit: Oczywiście trzeba też zauważyć, że \(\displaystyle{ x\in U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\).

lukasz.przontka, nadzbiór zbioru skończonego niekoniecznie jest skończony.
Edit: Uwaga niesłuszna. Nie spojrzałem, którą implikację dowodzisz, przepraszam.