Matematyka.pl

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = 2x \sqrt{y}- x^{2} -2y + 3x}\)
Wiem ze zgodnie ze schematem mam najpierw wyznaczyć pochodną 1 rzędu i przyrownać to do zera, następnie drugiego rzędu itd... Ale wyznaczając pochodną 1 rzędu wychodzą mi głupoty, mógłby ktoś pomóc??

Pozdrawiam!

Na czym te głupoty polegają?

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = -2x + 3}\) (y traktuje jak stałą)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = -2}\) (x traktuje jak stałą)
i z tego nie utworzę układu równań ponieważ drugi będzie sprzeczny tzn -2 = 0

Źle liczysz pochodne pierwszego składnika.

\(\displaystyle{ \blue f(x,y) = 2x \sqrt{y}- x^{2} -2y + 3x}\)

\(\displaystyle{ f'_x=2\sqrt y-2x+3}\)

\(\displaystyle{ f'_y=\frac{x}{\sqrt y}-2}\)

Jakie piękne kolorki, trochę mnie prześladują (dzisiaj).

to może tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial X} = 2 \sqrt{y}-2x+3}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial Y} = \frac{X}{ \sqrt{y} } -2}\)

Już GOTOWCA (wycinacza neuronów) miałaś.

i teraz:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\sqrt{y}-2x+3=0 \\ \frac{x}{ \sqrt{y} }-2 =0 \end{cases}}\) - pierwsze rownanie dziele na 2:

\(\displaystyle{ \sqrt{y} - x + \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ y= x^{2}- \frac{9}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{ x^{2}- \frac{9}{4} } } - 2 = 0}\) - mnoze razy mianownik (bo jest stale dodatni)

\(\displaystyle{ x-2 \sqrt{ x^{2}- \frac{9}{4} }=0}\) // potęguje:

\(\displaystyle{ x ^{2} - 4(x ^{2}- \frac{9}{4})=0}\)

\(\displaystyle{ -3 ^{2} = -9}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt{3} \vee x=- \sqrt{3}}\)

podstawiamy pod \(\displaystyle{ y= x^{2}- \frac{9}{4}}\)

i wychodzą nam 2 punkty które mogą być ekstremum:
\(\displaystyle{ P1 = ( \sqrt{3}, \frac{3}{4} )}\)
\(\displaystyle{ P2 = ( -\sqrt{3}, \frac{3}{4} )}\)

Dobrze wyliczone?

\(\displaystyle{ y>0}\) (bo też pochodna)
Mam inaczej.
Podstaw coś zamiast pierwiastka - wygodniej Ci się policzy.

teraz wyszlo mi inaczej:

\(\displaystyle{ y= \frac{9}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ y=- \frac{9}{4}}\)
z tego może my wyjść tylko jedno rozwiazanie \(\displaystyle{ x=3}\), teraz dobrze?

Ujemny y odpada.

Tak - teraz ok.

sebciq pisze:\(\displaystyle{ \sqrt{y} - x + \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= x^{2}- \frac{9}{4}}\)
Dobrze wyliczone?

Nie bardzo.
\(\displaystyle{ \sqrt{y} = x - \frac{3}{2}\ \ /^2\ \ \green \Rightarrow \blue\ \ y=x^2-3x+\frac94}\)

piasek101 pisze:Ujemny y odpada.

Tak - teraz ok.

A można byłoby wytłumaczyć jakoś dokładnie dlaczego?

W liczbach rzeczywistych nie istnieją pierwiastki (parzystego stopnia) z liczb ujemnych.