Matematyka.pl

Mam kilka zadań związanych z rozdawaniem. Różnią się niuansami, które mnie gubią. bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze robię. Generanie w poniższych zadaniach może być 0,1,2,3 poprawnych odpowiedzi

1) Na ile sposobów można rozdać 8 różnych puszek napoju 3 osobom
a) \(\displaystyle{ V ^{3} _{8}}\)
b) \(\displaystyle{ S(8,3)}\)
c) \(\displaystyle{ 6*S(8,3)}\)

Tutaj nie wiem. Żadna odpowiedź mi nie pasuje

2) Na ile sposobów można rozdać 9 różnych puszek napoju 5 osobom, jeśli każda ma otrzymać co najmniej jedną puszkę
a) \(\displaystyle{ V ^{5} _{9}}\)
b) \(\displaystyle{ S(9,5)}\)
c) \(\displaystyle{ 5! * S(9,5)}\)

Wydaje mi się, że w tym wypadku jest to odpowiedź c dlatego, że chce podzielić 9-elementowy zbiór na 5 niepuste podzbiory, ale do tego dochodzi \(\displaystyle{ 5!}\) kombinacji puszek. Czy tak ?

3) Na ile sposobów mozna rozdać 9 identycznych puszek napoju 5 osobom, jeśli każda ma otrzymać conajmniej jedną sztukę
a) \(\displaystyle{ {13\choose 9}}\)
b) \(\displaystyle{ {9\choose 4}}\)
c) \(\displaystyle{ {8\choose 4}}\)

Wydaje mi się, że w tym przypadku odpowiedź "c". Niestety nie do końca rozumiem dlaczego. Wychodzi mi ta odpowiedź bo rozwiązałem to dla mniejszych danych, które mozna na oko sprawdzić

4) Na ile sposobów można ułożyć w jednym ciągu 5 puszek Coli, 4 puszki Pepsi, 2 puszki wody
a)\(\displaystyle{ \frac{11!}{5!4!2!}}\)
b)\(\displaystyle{ 11!}\)
c)\(\displaystyle{ 5!4!2!}\)

Wydaje mi się, że w tym przypadku odpowiedź "a" bo według mnie jest to permutacja z powtórzeniami.

5) Na ile sposobów można rozłożyć 10 różnych puszek w 3 nierozróżnialnych kartonach
a) \(\displaystyle{ {12\choose 10}}\)
b) \(\displaystyle{ S(10,3)}\)
c) \(\displaystyle{ 9*S(10,3)}\)

Tutaj nie wiem jak to ugryźć

Wydaje mi się, że w tym przypadku odpowiedź-- 13 lut 2013, o 19:59 --chyba powoli dochodzę do tego
1) żadna odpowiedź nie jest poprawna bo poprawna to \(\displaystyle{ 3 ^{8}}\) czyli ilość funkcji całkowitych utworzony ze zbioru funkcji \(\displaystyle{ X}\) gdzie \(\displaystyle{ |X| = 8}\) o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) gdzie \(\displaystyle{ |Y| = 3}\)

2) odpowiedź c. Pierw obliczam ilość niepustych zbiorów za pomocą liczby S czyli \(\displaystyle{ S(8,3)}\) a potem mnożę razy \(\displaystyle{ 3!}\) stąd \(\displaystyle{ 6}\) a mnożę ponieważ liczba S podaje mi ilość zbiorów a silnia da ich kombinacje

3) odpowiedź c. Absolutnie nie rozumiem dlaczego ale kilka przykładów na mniejszych możliwych do wyliczenia na piechotę danych to potwierdza tu będę zobowiązany za info dlaczego tak - oczywiście pod warunkiem, że mam rację

z czwartym jeszcze walczę. czy byłby ktoś tak miły i sprawdził, potwierdził, wytknął błąd ?

Co do 1 i 2 to dla mnie warunek, że każda osoba musi mieć przynajmniej 1 puszkę jest oczywisty, bo rozdanie wszystkich puszek np. jednej osobie wg mnie nie spełnia definicji podziału puszek między 3 osoby. Więc nie wiem naprawdę czym te zadania mają się różnić…

Zadanie 3 prosto zobrazować tak: Sprowadza się to więc do wybrania spośród 8 pustych miejsc 4 miejsc do wstawienia przegródek.

Zadanie 4 oczywiście "a".

Zadanie 5 "b", gdyż sprowadza się to do podziału puszek na zbiory a od tego są liczby Stirlinga II.