Matematyka.pl

Proszę o podpowiedź w rozwiązaniu równania (metoda podstawienia):
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \sin \left( x-y \right)}\)

Jak myslisz, jakie podstawienie trzeba tutaj zrobić?

Zrobiłem podstawienie \(\displaystyle{ u=x-y}\). Rozwiązałem zadanie ale odp wyszła mi inna niż w książce, dlatego proszę o podpowiedź. Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ u=x-y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = x\mbox{d}x - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}}\)

Wracając do równania:
\(\displaystyle{ 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \sin u}\)
Przekształcając:
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{1}{1 - \sin u} \mbox{d}u}\)
Całkując:
\(\displaystyle{ x = \int \frac{\mbox{d}u}{1 - \sin u}}\)
Rozwiązując całkę po prawej stronie:
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{u}{2}) - 1}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{x-y}{2}) - 1}}\)

A odp wygląda:
\(\displaystyle{ x - \tg (x-y) - \frac{1}{\cos (x-y)} = c}\)