Matematyka.pl

To mój pierwszy post tutaj, więc na wstępie witam wszystkich.

Czy poniższą nierówność da się rozwiązać metodami analitycznymi?

\(\displaystyle{ 2^{x}>2x}\)

Ja bym rozważyła dwa przypadki:
-dla 0

Znalezienie graficznego rozwiązania to żaden problem, ale jeden zawodnik się uparł, że zrobi to analitycznie. Stąd moje pytanie, czy taki typ nierówności (wykładnicze pomieszane z potęgowym) da się w ten sposób pokonać. Ja znam tylko sposoby rozwiązywania nierówności wykładniczych lub potęgowych.

no ciekawe ciekawe , mi teraz do głowy przychodzi tylko graficzne rozwiązanie

x nie może być mniejszy od 0, bo dziedzina funkcji wykładniczej są liczby dodatnie różne od 1.

Ewa 20 pisze: bo dziedzina funkcji wykładniczej są liczby dodatnie różne od 1.

Rozumiem, że to jakaś matematyka alternatywna
Polecam doczytać o funkcji wykładniczej np. tu --->

Faktycznie, pomyliłam się

Analitycznie można tak: nasza nierówność jest równoważna
\(\displaystyle{ 2^x-2x>0}\)
Rozważmy funkcję
\(\displaystyle{ g(x)=2^x-2x}\)
Jak łatwo zauważyć miejscami zerowymi tej funkcji są 1 i 2, wyznaczmy jej przedziały monotoniczności
\(\displaystyle{ f'(x)=0\iff x=1-\log_2 (\ln 2)=t\approx 1,5}\)
nasza funkcja jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty;t)}\). Korzystając z tego, oraz z tego, że \(\displaystyle{ 1\in(-\infty;t)}\) jest miejscem zerowym otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)>0\iff x\in(-\infty;1)}\). I podobnie można pobawić się nia przedziale \(\displaystyle{ (t;\infty)}\)

dzięki za pomoc