Witam, potrzebuję pomocy , bo nie wiem jak się zabrać za taką granicę :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ }= \left( \frac{1}{x}\right) ^{\sin x}}\)
granica prawostronna
-
golywachock
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 4 sty 2012, o 10:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
granica prawostronna
Ostatnio zmieniony 6 lut 2013, o 18:02 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Jytug
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 10 gru 2012, o 12:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 11 razy
granica prawostronna
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ }\left( \frac{1}{x}\right) ^{\sin x} = \lim_{ x\to0+ }e^{\ln{ \left( \frac{1}{x}\right) ^{\sin x}}} = \lim_{ x\to0+ }e^{sinx \cdot \ln{ \left( \frac{1}{x}\right) }} = \lim_{ x\to0+ }e^{ \frac{ sinx}{x} \cdot x \cdot \ln{ \left( \frac{1}{x}\right) }}} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ }e^{ \frac{ sinx}{x} \cdot x \cdot -\ln{ \left( x\right) }}} = \lim_{ x\to0+ }e^{ \frac{ sinx}{x} \cdot -\ln{ \left( x\right)^x }}} = \lim_{ n\to \infty }e^{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{n} \right)^ \frac{1}{n} }}}= \lim_{ n\to \infty }e^{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{n}} \right) }}} = e^{ \lim_{ n\to \infty }{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{n}} \right) }}}} = e^{-ln1} = 1}\)
Z de l'Hospitala podobnie
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ }e^{ \frac{ sinx}{x} \cdot x \cdot -\ln{ \left( x\right) }}} = \lim_{ x\to0+ }e^{ \frac{ sinx}{x} \cdot -\ln{ \left( x\right)^x }}} = \lim_{ n\to \infty }e^{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{n} \right)^ \frac{1}{n} }}}= \lim_{ n\to \infty }e^{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{n}} \right) }}} = e^{ \lim_{ n\to \infty }{ \frac{ sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \cdot -\ln{ \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{n}} \right) }}}} = e^{-ln1} = 1}\)
Z de l'Hospitala podobnie