Rozwinac w szereg Maclaurina
: 27 mar 2007, o 00:08
Hej, moglby mi ktos pomoc w rozwinieciu w szereg Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f(x)=arctg(x)}\)
a wiec, wiesz napewno ze:
\(\displaystyle{ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}}\)
wiesz tez ze:
\(\displaystyle{ =1+x+x^2+x^3+...=\sum_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ x (-1,1)}\)
wiec jesli zastowsowal bys podstawienie \(\displaystyle{ x \mapsto -x^2}\) mialbys rozwiniecie w szereg pochodnej arkusatangensa;)
wyglada to mniej wiecej tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}}\)
wiec aby znalezc rozwiniecie \(\displaystyle{ \arctan x}\) nalezy scalkowac wyraz po wyrazie szereg linijke wyzej;)
czyli:\(\displaystyle{ \arctan x =\int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n} dx =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}}\), powinno byc ok