Matematyka.pl

Witam. Prosiłbym aby ktoś wytłumaczył mi o co tak na prawde chodzi w Twierdzeniu Lagrange'a oraz na jakims prostym przykładzie wytłumaczył jego zastosowanie. Z góry dziekuje i pozdrawiam.

W budżecie Polski brakuje pieniędzy, więc Rostowski wymyślił by wprowadzić odcinkowy pomiar prędkości i łupić w ten sposób kierowców. Załóżmy, że przebywasz stuczterdziestokilometrowy fragment autostrady na której masz ograniczenie prędkości do 140 km/h w 50 minut. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że możesz się spodziewać listu od Vincenta, bo była taka chwila w której przekroczyłeś prędkość.

Dziekuję, ale chodzilo mi bardziej o matematyczny przyklad, na podstawie danej funkcji

Spektralny, na to potrzeba tylko zdrowego rozsądku. Jeśli 140 km przebywasz w czasie poniżej godziny, to (słowami klasyka) oczywistą oczywistością jest, że musiałeś gdzieś przekroczyć prędkość. Inaczej pokonałbyś dystans krótszy niż 140 km.

jawq pisze:Dziekuję, ale chodzilo mi bardziej o matematyczny przyklad, na podstawie danej funkcji

To bardzo dobry, matematyczny przykład. O ile nie zasnąłeś za kierownicą, to funkcję położenia od czasu masz daną. Z tw. Lagrange'a wynika, że istniała taka chwila czasu, w której Twoja prędkość chwilowa była równa prędkości średniej na tym odcinku, czyli \(\displaystyle{ 168\;\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\).

szw1710 pisze:Spektralny, na to potrzeba tylko zdrowego rozsądku. Jeśli 140 km przebywasz w czasie poniżej godziny, to (słowami klasyka) oczywistą oczywistością jest, że musiałeś gdzieś przekroczyć prędkość. Inaczej pokonałbyś dystans krótszy niż 140 km.

Dowodem tej zdroworozsądkowej obserwacji jest właśnie tw. Lagrange'a. Swoją drogą jakie jest zdroworozsądkowe wytłumaczenie paradoksu Zenona z Elei?

To już chyba temat nie do tego wątku Oczywiście, że nie ma.

Osobiście do mojej wyobraźni bardziej przemawia interpretacja geometryczna: w pewnym punkcie pośrednim styczna jest równoległa do siecznej. Szczegóły pomijam. Oczywiście mówimy o tym samym, w innych słowach.

Ale w tym co w pierwszym poście napisał szw1710 wcale nie potrzeba Lagrange'a, wystarczy powiedzieć: załóżmy, że prędkość w żadnym momencie nie przekroczyła 140, wtedy
\(\displaystyle{ s= \int v(t) dt \le \int 140 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} dt = \frac{350}{3} \mathrm{km} < 140 \mathrm{km}}\).