Matematyka.pl

wyznacz kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (5 \pi ,6 \pi )}\) dla ktorego \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest rowny pierwiastkowi równania \(\displaystyle{ (\log _{2} x+1)\log _{2} x=\log _{2} x+1}\)

nie prosze o wskazówki a o rozwiazanie krok po kroku, mam zamiar zrozumieć to zadanie...

Oto schemat rozwiązania krok po kroku:

Wymnóż nawiasy w równaniu i przerzuć wszystko na jedną stronę.

Podstaw \(\displaystyle{ \log _{2}x=t}\) i rozwiąż równanie kwadratowe ze zmienną \(\displaystyle{ t}\).

Następnie podstaw otrzymane pierwiastki równania kwadratowego do \(\displaystyle{ \log _{2}x=t}\) i rozwiąż to równanie wyznaczając \(\displaystyle{ x}\).

Podstaw obliczone \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ x=\cos \alpha}\) i wyznacz \(\displaystyle{ \alpha}\) w danym przedziale.

Prościej się nie da Pozdrawiam.

ok, robiłem jak powiedziałeś/łaś wymnożyłem i przeżuciłem na 1 strone

wyszło mi \(\displaystyle{ t _{1} =1 /oraz/ t _{2} =-1}\)

i co dalej...? podstawić tak? czyli mam 2 równania?... nie rozumiem co dalej...

tak, teraz masz:

\(\displaystyle{ \log _{2}x=1 \vee \log _{2}x=-1 \Rightarrow x=2 \vee x= \frac{1}{2}}\)

Pierwszy wynik odrzucasz bo \(\displaystyle{ \cos \alpha \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)

Zatem \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{1}{2}}\) i teraz pomyśl jeszcze dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) cosinus przyjmuje taką wartość.

skad ten przedział...? oraz drugie pytanie dlaczego \(\displaystyle{ x=2 \vee x= \frac{1}{2}}\)

moze banalne pytanie ale gdybym wiedział to bym nie pytał.

cosinus dowolnego kąta przyjmuje zawsze wartości z tego przedziału od -1 do 1...

A co do drugiego pytania: z definicji logarytmu. Chyba potrafisz rozwiązywać najprostsze równania z logarytmami postaci \(\displaystyle{ \log _{2}x=-1}\) ?

wyznacz kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (5 \pi ,6 \pi}\)
i to jest przedział, więc tylko sobie szkicuje i patrzę dla jakiego przyjmuje tam \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

czyli moge po prostu odczytać bo funkcja ta sie powtarza \(\displaystyle{ 2k \pi}\) o ile dobrze pamietam tak?;]

nawet szkicowac nie musze tylko sprawdzić w tabelce funkcji?:)

Dokładnie tak.