Matematyka.pl

Każdy wie, że \(\displaystyle{ -1 \neq 1}\), ale proszę spójrzcie na ten "dowód" i powiedzcie, gdzie jest błąd w rozumowaniu:

\(\displaystyle{ -1=(-1)^1=(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}}=((-1)^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=\sqrt{1}=1}\)

Moje przemyślenia:

Potęgę \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{1}{2}}\) można teoretycznie rozpisać na dwa sposoby:

(1) \(\displaystyle{ -1=(-1)^1=(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}}= ((-1)^2)^\frac{1}{2}=\sqrt{(-1)^2}=1^2=1}\)

lub:

(2) \(\displaystyle{ -1=(-1)^1=(-1)^{\frac{1}{2} \cdot 2}=((-1)^\frac{1}{2})^2= (\sqrt{-1})^2=i^2=-1}\)

Czyli jaki wniosek mam z tego wyciągać? Mnożenie nie jest przemienne, czy liczby rzeczywiste kłamią, a zespolone mówią prawdę?

W ogóle można by się uprzeć i powiedzieć, że \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{2}}\) i to jest wymierny wykładnik potęgi. A potęgę o wykładniku wymiernym definiowało się jako:

\(\displaystyle{ a^\frac{m}{n}= \sqrt[n]{a^m}}\) (czyli tak jak w (1)) ale tylko dla \(\displaystyle{ a \ge 0}\)

Może zatem nie powinnam podnosić \(\displaystyle{ (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}}}\) bo \(\displaystyle{ -1}\) jest ujemne?

A może potęgę o wykładniku wymiernym powinno się definiować jako \(\displaystyle{ a^\frac{m}{n}= (\sqrt[n]{a})^m}\) ale już dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i z uwzględnieniem zespolonych wyników?

Zauważ, że wzór \(\displaystyle{ x^{ab}=(x^a)^b}\) działa w ogólności jedynie dla \(\displaystyle{ x\geq 0}\). Dla \(\displaystyle{ x<0}\) czasem jest nieprawdziwy, a czasem nawet prowadzi do wyrażeń bezsensownych (potęgowanie liczb ujemnych nie jest dobrze określone dla wykładników niecałkowitych).

page.php?p=kompendium-potegi-i-pierwiastki

\(\displaystyle{ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \hspace{5} a \in \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}, \hspace{2}m,n \in \mathbb{N}^{+} \wedge \hspace{2}n \in \mathbb{N}^{+} \setminus \{1\}}\)