Matematyka.pl

Hej.
Potrzebuję waszej pomocy w rozwiązaniu zadania:

Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) będzie funkcją rosnącą. Wykaż, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R_+}}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{f(a)+a} + \frac{1}{f(b)+b} \geqslant \frac{1}{f(a)+b} + \frac{1}{f(b)+a}}\)

załóżmy bez straty ogólności że \(\displaystyle{ a \geqslant b}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(b)+b}- \frac{1}{f(b)+a} \geqslant \frac{1}{f(a)+b} - \frac{1}{f(a)+a}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{(f(b)+b)(f(b)+a)} \geqslant \frac{a-b}{(f(a)+b)(f(a)+a)}}\)
i
\(\displaystyle{ (f(a)+b)(f(a)+a) \geqslant (f(b)+b)(f(b)+a)}\)
co oczywiście jest prawdą
c.n.d.