Matematyka.pl

Jak poszło? Możecie tutaj zamieszczać swoje rozwiązania z właśnie tego konkursu z etapu rejonowego, a zadania były takie :

1.Danych jest 2013 liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}, l_{3}, ..., l_{2012}, l_{2013}}\), które spełniają warunek

\(\displaystyle{ l_{1}< l_{2}< l_{3}<...< l_{2012}< l_{2013}}\)

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}+ l_{2013}}{2013} > \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}}{2012}}\)


2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^{4}+33}\) jest kwadratem liczby naturalnej .

3. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} xy+yz+z=5\\2yz+x=5\\x+y+z=4 \end{array}}\)

4. Na boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ K}\), że \(\displaystyle{ KB=3 \cdot AK}\), a na boku \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta taki punkt \(\displaystyle{ L}\), że
\(\displaystyle{ CL=3 \cdot BL}\). Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AL}\) i \(\displaystyle{ CK}\). Znajdź stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ BQC}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

5. Dany jest trójkąt o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\). Rozstrzygnij, czy z odcinków długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}}\) można zbudować trójkąt. Odpowiedź uzasadnij.

A czy przypadkiem w zadaniu 2. nie powinno być \(\displaystyle{ n}\) w parzystej potędze?

Sorry, zagapiłem się

W czwartym wyszło mi pole 9:13, ale niestety w domciu dopiero .

Do zadania trzeciego można dodać jeszcze następujący komentarz:

Zadanie 4

Jak sądzicie, jaki będzie próg, aby dostać się do finału?

Przy takich zadaniach typuję minimum \(\displaystyle{ 4}\). Ale to raczej na zasadzie "Nie znam się, to się wypowiem".

Będzie 16-20 pkt (każde zadanie max punktowane po 5pkt). Z tego co widzę, to była chyba najłatwiejsza rejonówka od paru lat.

Ponewor pisze:Przy takich zadaniach typuję minimum \(\displaystyle{ 4}\). Ale to raczej na zasadzie "Nie znam się, to się wypowiem".

Nie przesadzaj, to jest konkurs wojewódzki, a nie jakiś OM/OMG. Odkąd pamiętam na finał wystarczały trzy zadania

ben2109 pisze:

Ukryta treść:    

Dla trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\) mamy nierówności
\(\displaystyle{ a+b>c\\a+c>b\\b+c>a}\)

Załóżmy, że trójkąt o następujących bokach jak w treści zadania istnieje, jego boki będą spełniać warunki
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c} \Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}>c}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{c}>\sqrt{b} \Rightarrow a+c+2\sqrt{ac}>b}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}+\sqrt{c}>\sqrt{a} \Rightarrow b+c+2\sqrt{bc}>a}\)
Nierówności te są prawdziwe, porównując z nierównościami trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\).
Taki trójkąt można skonstruować.

To nie jest poprawne rozumowanie, bo próbujesz udowodnić implikację "jeśli istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt{a}, \ \sqrt{b}, \ \sqrt{c}}\), to istnieje również o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\)", a to nie jest prawda, bo wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=1, \ b=4,00000001, \ c=9}\) i wówczas istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt{a},\ \sqrt{b}, \ \sqrt{c}}\), ale nie o bokach \(\displaystyle{ a, \ b, \ c,}\) bo \(\displaystyle{ a+b<c}\). Ale będzie poprawnie, gdy napiszemy implikację w drugą stronę:
\(\displaystyle{ a + b > c \Rightarrow a + 2\sqrt{ab} + b > c \Rightarrow (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > c \Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c}}\).

No to lipa. xd Mam nadzieję, że za rok pójdzie lepiej.

ben2109 pisze:No to lipa. xd Mam nadzieję, że za rok pójdzie lepiej.

Sądzę, że za błąd, który naprawia się poprzez obrócenie strzałki w drugą stronę, nie obetną dużo punktów.