Matematyka.pl

Witam!
Z góry przepraszam jeśli takie zadanie już się pojawiło, ale poproszę o wskazówki.

Udowodnij, jeśli zbiory \(\displaystyle{ A, B subset [0, infty )}\) są niepuste oraz \(\displaystyle{ C:=\left\{ab: a \in A, b \in B \right\}}\), to

spróbuj z definicji

Masz problem z pokazaniem, że \(\displaystyle{ \inf A \cdot \inf B}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ C}\), czy że nie ma większego ograniczenia górnego?

Żeby sprawdzić czy dany element jest kresem dolny należy sprawdzić dwa warunki: po pierwsze czy jest to ograniczone dolne, a po drugie czy jest to największe z takich ograniczeń tzn. bierzemy inne ograniczenie dolne zb. \(\displaystyle{ C}\) i sprawdzamy czy jest ono niewiększe od naszego kandydata na infimum. Tyle definicja.


Pierwszy warunek nie sprawia trudności. Ponadto jeżeli kres dolny zbiorów \(\displaystyle{ A}\) albo \(\displaystyle{ B}\) jest zerem, to zadanie jest proste (kres dolny jest też zerem), dlatego zakładam dalej, że dolne kresy są dodatnie.

Niech \(\displaystyle{ x in [0,+ infty )}\) będzie ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ C}\).
Wtedy dla dowolnych \(\displaystyle{ a \in A, b \in B}\) mamy:
\(\displaystyle{ x \le ab \Rightarrow \frac{x}{a} \le b \Rightarrow \frac{x}{a} \le \inf B \Rightarrow x \le a \cdot \inf B \Rightarrow \frac{x}{\inf B} \le a \Rightarrow \frac{x}{\inf B} \le \inf A \Rightarrow x \le \inf A \cdot \inf B}\).

Nie wiem czy to co zrobiłem powyżej jest poprawne, dlatego niech ktoś madrzejszy się wypowie.-- 4 lut 2013, o 18:38 --Nie dziękuj tak szybko, bo jeszcze nie pozbyłem się wątpliwości odnoście tego rozwiązania.

TPB pisze: \(\displaystyle{ \frac{x}{a} \le b \Rightarrow \frac{x}{a} \le \inf B}\).

Ta implikacja budzi wątpliwości.

Właśnie nad nią się zastanawiam czy rzeczywiście zachodzi, bo na takim myku oparłem całe rozwiązanie.

Oznaczmy \(\displaystyle{ a_0=\inf A}\), \(\displaystyle{ b_0=\inf B}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ b\in B}\), że \(\displaystyle{ ab-a_0b_0<\varepsilon}\). W ten sposób pokażemy, że \(\displaystyle{ a_0b_0+\varepsilon}\) nie jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ C}\).

\(\displaystyle{ ab-a_0b_0=a(b-b_0)+b_0(a-a_0)}\)

Chcemy, żeby to było mniejsze niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Wystarczy tak dobrać \(\displaystyle{ a,b}\), aby obydwa składniki były mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}2}\). Chyba nie muszę tłumaczyć, jak to zrobić?

norwimaj pisze:Oznaczmy \(\displaystyle{ a_0=\inf A}\), \(\displaystyle{ b_0=\inf B}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Chcemy znaleźć takie \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ b\in B}\), że \(\displaystyle{ ab-a_0b_0<\varepsilon}\). W ten sposób pokażemy, że \(\displaystyle{ a_0b_0+\varepsilon}\) nie jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ C}\).

\(\displaystyle{ ab-a_0b_0=a(b-b_0)+b_0(a-a_0)}\)

Chcemy, żeby to było mniejsze niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Wystarczy tak dobrać \(\displaystyle{ a,b}\), aby obydwa składniki były mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}2}\). Chyba nie muszę tłumaczyć, jak to zrobić?

Czy chodzi o to żeby dobrać \(\displaystyle{ a, b}\) w ten sposób
\(\displaystyle{ a<a_0 + \frac{\varepsilon}{2b_0}}\)

\(\displaystyle{ b<b_0 + \frac{\varepsilon}{2a}}\)
?(Przepraszam, ale akurat to zadanie od pewnego czasu sprawiało mi kłopot, więc chciałbym się upewnić.)

To na pewno będzie dobrze, gdy osobno rozpatrzysz przypadek, gdy któryś kres jest równy \(\displaystyle{ 0}\).