Matematyka.pl

Witam,
nie mogę poradzić sobie ze zbadaniem zbieżności tego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} e^{- \frac{1}{n} }}\)

Z Cauchy'ego nie wyszło, z d'Alemberta też pewnie nie.
Z porównawczego nie wiem jak...
Wiem, że \(\displaystyle{ e^{x}>1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
Więc \(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{n} }>1}\)
Zaś \(\displaystyle{ e^{- \frac{1}{n} }<1}\)

Tylko to mi nic nie daje, bo wyjdzie oszacowanie od góry przez szereg rozbieżny, a musi wyjść od dołu... (albo od góry, ale przez zbieżny)...

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} e^{- \frac{1}{n} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \frac{1}{e^{ \frac{1}{n} }} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \frac{1}{ \sqrt[n]{e} }}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt[n]{e} } = 1}\) i korzystamy z kryterium asymptotycznego względem \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{n} \frac{1}{ \sqrt[n]{e} }}{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt[n]{e} } = 1}\)

Wobec tego szereg ten zachowuje się jak \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\)

Czyli jest rozbieżny

Dziękuję.
Nie kojarzę tego kryterium, ale postaram się czegoś o nim dowiedzieć.

Możesz je znaleźć też pod innymi nazwami (np. ilorazowe).

No ale jeśli go nie znasz, to można również zrobić szacowanie z dołu. Jako że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{e}}\) to funkcja malejąca oraz \(\displaystyle{ e<3}\), mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[n]{e}} > \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} e^{- \frac{1}{n} } > \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\)

Co dowodzi rozbieżności