Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x,y,z)=x^3+y^3+z^3+mxyz}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x,y,z)=(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2}\)-- 29 sty 2013, o 09:11 --Wyszło mi, że tylko \(\displaystyle{ m=-3}\) pasuje. To prawda?

Oczywistym jest, że może pasować co najwyżej jedna wartość \(\displaystyle{ m}\). Niech pasują \(\displaystyle{ m_{1}}\) i \(\displaystyle{ m_{2}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \left(x-y\right)^{2}+\left(x-z\right)^{2}+\left(y-z\right)^{2}|\left(m_{2}-m_{1}\right)xyz}\)
Co jest raczej kiepskim pomysłem. A że pasuje \(\displaystyle{ m=-3}\), to jest zdaje się jakiś wniosek z twierdzenia Hurwitza.

EDIT
Z ładnych dowodów tej podzielności:
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ V \left(t \right)=\left(t-x\right)\left(t-y\right) \left(t-z\right)=t^{3}- \alpha t^{2} + \beta t - \gamma}\)
Zgodnie z wzorami Viete'a:
\(\displaystyle{ \alpha =x+y+z \qquad \beta=xy+yz+zx \qquad \gamma =xyz}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}-\alpha \left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)+\beta \left(x+y+z \right) - 3 \gamma = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx\right)= \\ =\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(\left(x-y\right)^{2}+\left(y-z\right)^{2}+\left(z-x\right)^{2} \right)}\)

Czy masz jakiś inny dowód/rozwiązanie? Byłbyś łaskaw zamieścić?

W sumie to nie jestem taki przekonany czy to jest ok (może znajdziesz jakiś mankament)

Z tego co powiedział mi kristoffwp pod linkiem https://www.matematyka.pl/325232.htm dzielnik dopełniający wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x,y,z \right)}\) musiałby być postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z+d}\), wymnożyłem to, porównałem współczynniki i wyszło, że musi być \(\displaystyle{ d=0}\) (przy czym zaznaczam, że zdałem się na kristoffwp'a)

Nie słyszałem o twierdzeniu Hurwitza wcześniej - chodzi o to twierdzenie (nie wiem czy jest jakieś inne)?

-- 29 sty 2013, o 16:35 --

\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \left( x+y+z \right) +d \right) \left( \left( x-y \right) ^2+ \left( x-z \right) ^2+ \left( y-z \right) ^2 \right)}\) - wymnożyć, uprościć i wyjdzie nasz wielomian a reszta składników sumy to czynniki zawierające \(\displaystyle{ d}\) więc jeśli kristoffwp ma rację, to \(\displaystyle{ d=0}\) (tam musi być jedna druga zgodnie z tym co pisał kristoffwp)

PS: Przepraszam za edycję, ale musiałem poprawić

-- 29 sty 2013, o 17:27 --

Jednak blefuję, przepraszam, za szybko chciałem. Spróbuję później nad tym pomyśleć na spokojnie. Jak coś to dam znać.

-- 29 sty 2013, o 18:27 --

Dzięki Ponewor za rozwiązanie!

-- 29 sty 2013, o 18:28 --

A możesz jeszcze napisać czy chodzi o to twierdzenie Hurwitza?

Twierdzenie Hurwitza to bardzo niejasna wzmianka, którą napotkałem kiedyś w Kourliandtchiku przy nierówności o średnich. Ma ono mówić, że wyrażenie postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}- n\prod_{i=1}^{n}x_{i}}\) rozkłada się jakoś tak, że po prawej stronie występują jakieś kwadraty różnic, albo sumy kwadratów, czy coś takiego. Podany był tam przykład właśnie dla \(\displaystyle{ n=3}\). W każdym razie pewnie coś dodatniego, bo z tego wyniknie bardzo oczywisty dowód nierówności między średnimi. No i sumy kwadratów różnic, także mają sens, bo to się zgadza z warunkiem na równość w nierówności o średnich. Oczywiście bardzo łatwo sprawdzić, że jest to prawda także dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=1}\). Wzmianka była raczej bardzo krótka, ale sprawdzę, jak wrócę do Warszawy, bo zapomniałem wziąć ze sobą Kourliandtchika. No i mogę też bredzić, bo zdaję się na coś, co raz kiedyś dawno wyczytałem.