Matematyka.pl

Czym się różni równanie różniczkowe cząstkowe liniowe od nieliniowego?

Równanie liniowe: jego część jednorodna (zawierająca pochodne i nic poza tym) jest liniowa, tj. jeśli masz dwa rozwiązania, to ich suma jest też rozwiązaniem, także iloczyn rozwiązania przez liczbę też jest rozwiązaniem.

Przykład: równanie \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x^2+y^2}\) jest liniowe, gdyż część jednorodna, tj. \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}}\) jest liniowa. Sprawdź to biorąc dwa rozwiązania \(\displaystyle{ f_1,f_2}\).

Równanie

\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x}\) nie jest liniowe.

a nieliniowe?

Przecież to drugie jest nieliniowe, tzn. nie jest liniowe.

dlaczego nie jest liniowe?

Np. dlatego, że suma rozwiązań "części jednorodnej", tzn. tej zawierającej tylko pochodne, czyli

\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\)

nie musi być rozwiązaniem. Mamy tam kwadrat.

Także nie jest liniowe równanie \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\). Np. \(\displaystyle{ f(x,y)=x}\) spełnia to równanie, \(\displaystyle{ g(x,y)=y}\) także, a suma nie spełnia.

franek89: Bo masz po lewej nieliniową funkcję od pochodnej.

Można krótko:

Dany operator różniczkowy \(\displaystyle{ D_n}\) zależny od \(\displaystyle{ f}\) oraz wszystkich jego pochodnych cząstkowych do rzędu \(\displaystyle{ n}\) włącznie.

Równanie

\(\displaystyle{ D_nf=g}\)

jest liniowe, gdy \(\displaystyle{ D_n}\) jest liniowy. W przeciwnym wypadku równanie jest nieliniowe (tak naprawdę są jeszcze semiliniowe, quasiliniowe, i dopiero (silnie) nieliniowe).

Ale zastanawiam się, czy autor tematu zrozumie ten zapis, skoro problemy z liniowością zwykłych funkcji występują...