Matematyka.pl

Wyznaczyć wielomiany stopni 0,1,2 należące do rodziny wielomianów ortogonalnych z wagą \(\displaystyle{ w(x)=cos(x)}\) na odcinku \(\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}\). Następnie wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki
\(\displaystyle{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}p(x)cos(x)dx}\) dokładny dla wielomianów p stopnia co najwyżej trzeciego.

Proszę o szybką pomoc.

Wielomiany ortogonalne możesz sobie wyznaczyć bezpośrednio z definicji: np. \(\displaystyle{ p_1(x)=1}\), \(\displaystyle{ p_2(x)=ax+b}\), \(\displaystyle{ p_3(x)=ax^2+bx+c}\). I teraz całki iloczynów różnych funkcji względem tej funkcji wagowej muszą się zerować. Albo przeprowadzisz ortogonalizację ciągu wielomianów \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\).

W celu szybszego wyznaczenia współczynników warto sobie policzyć momenty:

\(\displaystyle{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\dd x=2}\), \(\displaystyle{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}x\cos x\dd x=0}\), \(\displaystyle{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^2\cos x\dd x=\frac{\pi^2-8}{2}.}\). Teraz dostaniemy układ równań liniowych na współczynniki. Powiedzmy, że szukam wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 1}\). Mam więc

\(\displaystyle{ 0=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(ax+b)\cos x\dd x=a\cdot 0+2b}\), więc \(\displaystyle{ b=0}\), natomiast \(\displaystyle{ a}\) może być dowolne. Więc względem wagi \(\displaystyle{ \cos x}\) są ortogonalne wielomiany \(\displaystyle{ 1,x}\). Podobną metodą (dwa równania) wyznaczysz wielomian drugiego stopnia.

Co do wyznaczenia kwadratury - metodę opisuję w swoim wykładzie w kompendium. 270811.htm