Matematyka.pl

Rozważ drugą pochodną danej funkcji i zapisz ją odpowiednim wzorem. Następnie wykorzystaj fakt, iż wartość funkcji i jej pochodnej w zerze równa się zeru. Przy wnioskowaniu wykorzystaj odpowiednie twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu sumy szeregu.

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^{n + 1} }}{{n(n + 1)}}} = \int_0^x {\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^{n + 1} }}{{n(n + 1)}}} } \right)^\prime dx} = \int_0^x {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^n }}{n}} dx} = \int_0^x {\int_0^x {\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^n }}{n}} } \right)^\prime } dx} dx = \int_0^x {\int_0^x {\sum\limits_{n = 1}^\infty {x^{n - 1} dx} } dx} = \\
= \int_0^x {\int_0^x {\frac{1}{{1 - x}}} dx} dx = - \int_0^x {\ln \left| {1 - x} \right|} dx = - \int_0^x {\ln \left| {1 - u} \right|} du = \left[ \begin{array}{l}
1 - u = w \\
- du = dw \\
\end{array} \right] = \int_1^{1 - x} {\ln \left| w \right|dw} = \\
= \left[ {w\ln \left| w \right| - w} \right]_1^{1 - x} = (1 - x)\ln \left| {1 - x} \right| - (1 - x) - \left( { - 1} \right) = \underline {\underline {(1 - x)\ln \left| {1 - x} \right| + x} } \\
\end{array}}\)