Matematyka.pl

Podajcie zadania i wasze odpowiedzi

Poziom II

1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ ac = 6:3:2}\).

2. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie: \(\displaystyle{ \left| x-2\right| + \left| x+2\right| + \left| y\right| = 6}\).

3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{2} - (p+1)x + 2 - p = 0}\) ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest sinusem a drugi cosinusem tego samego kąta.

4. Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE \ i \ CF}\) są wysokościami trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta DEF. Oblicz miary kątów trójkąta DEF, wiedząc, że kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają miary \(\displaystyle{ 45^{\circ}, 60^{\circ} \i\ 75^{\circ}}\).

5. Udowodnij, że jeżeli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej, druga piatej i trzecia szóstej, to liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7, 11 \ i \ 13}\).



Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
2. tak jak tu
3. brak
4. 30, 60, 90
5. wyszedłem z założenia , liczbę zapisałem w postaci ogólnej

W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak: Pozostałe mam tak samo.

mortan517 pisze:Poziom II

1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ ac = 6:3:2}\).


Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi

Czyżbyś udowodnił implikację w drugą stronę? Zadanie na wzory skróconego mnożenia, oraz fakty: jeśli suma nieujemnych cuśiów to zero, to cusie są równe zero, i jeśli kwadrat liczby to zero, to liczba to zero.

Czy ten konkurs jest jakoś rzetelnie organizowany? Lista uczestników na poszczególnych etapach itp.?

Czy mógłbym prosić o podanie zadań Poziomu I z etapu wojewódzkiego?

Cubix651 pisze:W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac \Leftrightarrow a ^{2} - 4ab + 4b ^{2} + a^2 - 6ac + 9c ^{2} = 0 \Leftrightarrow (a-2b)^2 + (a-3c)^2 = 0}\)
Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc czynniki muszą być zerami:
\(\displaystyle{ (a-2b)^2 = 0 \wedge (a-3c)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 2b = 3c}\), co jest równoważne temu stosunkowi.

Pozostałe mam tak samo.

Sam sobie zaprzeczyłeś. Można podstawić i okazuje się, że wychodzi to co trzeba bo:

\(\displaystyle{ ac = 1:2:3 \Leftrightarrow (a-2b)^2 + (a-3c)^2 = 0 \Leftrightarrow 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\). Zatem rozumowanie jest równoważnością.